Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · La Rioja · 2026

El carbono-14 es radiactivo. Se sabe que después de que transcurran $10^{3}$ años, el 11,4 % de una muestra inicial de carbono-14 se habrá desintegrado.

a) Calcule el valor del período de semidesintegración $t_{1/2}$ del carbono-14.

b) ¿Dentro de cuántos años se habrá desintegrado el 90 % de la muestra inicial?

$\textbf{a) Calcule el valor del período de semidesintegración } \boldsymbol{t_{1/2}}\textbf{ del carbono-14.}$










La desintegración radiactiva sigue la ley exponencial:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

Si en $10^{3}$ años se ha desintegrado el 11,4 % de la muestra, lo que queda es el complementario:

$\dfrac{N}{N_0}=1-0{,}114=0{,}886$





Se despeja la constante de desintegración tomando logaritmos neperianos:

$0{,}886=e^{-\lambda\cdot 10^{3}}\Rightarrow \ln 0{,}886=-\lambda\cdot 10^{3}$

$\lambda=-\dfrac{\ln 0{,}886}{10^{3}}=1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de la muestra; imponiendo $N=N_0/2$ resulta la relación conocida:

$t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}693}{1{,}21\cdot 10^{-4}}$

$t_{1/2}=5{,}73\cdot 10^{3}\ \text{años}$

El período de semidesintegración del carbono-14 es de unos 5730 años, que es el valor que se usa en la datación de restos arqueológicos.

$\textbf{b) ¿Dentro de cuántos años se habrá desintegrado el 90 \% de la muestra inicial?}$

Si se ha desintegrado el 90 %, queda el 10 %:

$\dfrac{N}{N_0}=0{,}10$

Se despeja el tiempo de la ley de desintegración con la constante ya calculada:

$0{,}10=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}10=-\lambda\,t$

$t=-\dfrac{\ln 0{,}10}{\lambda}=\dfrac{2{,}303}{1{,}21\cdot 10^{-4}}$

$t=1{,}90\cdot 10^{4}\ \text{años}$

Han de transcurrir unos $1{,}90\cdot 10^{4}$ años, es decir, algo más de 19 000 años, para que se desintegre el 90 % de la muestra inicial. Equivale a poco más de tres períodos de semidesintegración, lo que encaja con que tras tres períodos quede $(1/2)^{3}=12{,}5\ \%$.