Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · La Rioja · 2026

El carbono-14 es radiactivo. Se sabe que después de que transcurran ${10}^3$ años, el 11,4 % de una muestra inicial de carbono-14 se habrá desintegrado.

a) Calcule el valor del período de semidesintegración $t_{1\mathrm{/}2}$ del carbono-14.

b) ¿Dentro de cuántos años se habrá desintegrado el 90 % de la muestra inicial?

La desintegración radiactiva sigue la ley exponencial:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Si en ${10}^3$ años se ha desintegrado el 11,4 % de la muestra, lo que queda es el complementario:

${\displaystyle \frac{N}{N_0}}=1-\mathrm{0,114}=\mathrm{0,886}$





Se despeja la constante de desintegración tomando logaritmos neperianos:

$\mathrm{0,886}=e^{-\lambda \cdot {10}^3}\Rightarrow \ln \mathrm{0,886}=-\lambda \cdot {10}^3$

$\lambda =-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,886}}{{10}^3}}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de la muestra; imponiendo $N=N_0\mathrm{/}2$ resulta la relación conocida:

$t_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}}}$

$t_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{5,73}\cdot {10}^3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

El período de semidesintegración del carbono-14 es de unos 5730 años, que es el valor que se usa en la datación de restos arqueológicos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{desintegrado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{inicial?}}$

Si se ha desintegrado el 90 %, queda el 10 %:

${\displaystyle \frac{N}{N_0}}=\mathrm{0,10}$

Se despeja el tiempo de la ley de desintegración con la constante ya calculada:

$\mathrm{0,10}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln \mathrm{0,10}=-\lambda t$

$t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,10}}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,303}}{\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}}}$

$t=\mathrm{1,90}\cdot {10}^4\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Han de transcurrir unos $\mathrm{1,90}\cdot {10}^4$ años, es decir, algo más de 19 000 años, para que se desintegre el 90 % de la muestra inicial. Equivale a poco más de tres períodos de semidesintegración, lo que encaja con que tras tres períodos quede $(1\mathrm{/}2{)}^3=\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$.