Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2026

Las ondas electromagnéticas podemos considerarlas formadas por dos ondas armónicas correspondientes a un campo eléctrico $\vec E$ y a un campo magnético $\vec B$. Ambas ondas armónicas se propagan en la misma dirección y vibran en planos perpendiculares entre sí. Consideremos una onda electromagnética de luz ultravioleta que se propaga en el vacío a lo largo del eje X en sentido positivo. El vector campo eléctrico $\vec E$ de esta onda tiene dirección paralela al eje Y, de manera que se puede escribir como $\vec E = E(x,t)\,\hat\jmath$, donde $E(x,t)$ tiene la expresión de una onda armónica. En la gráfica de la figura se presenta la evolución de $E(x=0,t)$ en función del tiempo $t$ en el punto del eje X de coordenada $x = 0$.



Utilizando los valores de la gráfica, determine:

a) El valor máximo $E_{0}$ de la onda armónica del campo eléctrico $E(x,t)$.

b) La frecuencia de la onda armónica del campo eléctrico $E(x,t)$.

c) La ecuación de la onda armónica asociada al campo eléctrico $E(x,t)$.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) El valor máximo } \boldsymbol{E_{0}}\textbf{ de la onda armónica del campo eléctrico } \boldsymbol{E(x,t)}\textbf{.}$

El valor máximo es la amplitud de la onda, y se lee directamente de la gráfica: la curva oscila entre $-20$ y $+20$ V/m.

$E_0=20\ \text{V/m}$

El campo magnético asociado tendría amplitud $B_0=\dfrac{E_0}{c}=6{,}67\cdot 10^{-8}\ \text{T}$, y vibra en el plano XZ, perpendicular al eléctrico y en fase con él:



$\textbf{b) La frecuencia de la onda armónica del campo eléctrico } \boldsymbol{E(x,t)}\textbf{.}$

En la gráfica se cuentan tres oscilaciones completas en el intervalo que va de $t=0$ a $t=3\cdot 10^{-16}\ \text{s}$, de modo que el periodo es:

$T=\dfrac{3\cdot 10^{-16}}{3}=1\cdot 10^{-16}\ \text{s}$

Y la frecuencia es su inversa:

$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{10^{-16}}=1\cdot 10^{16}\ \text{Hz}$

La frecuencia de la onda es de $10^{16}\ \text{Hz}$, propia del ultravioleta, como decía el enunciado.

$\textbf{c) La ecuación de la onda armónica asociada al campo eléctrico } \boldsymbol{E(x,t)}\textbf{.}$

Se calculan primero los tres parámetros de la onda. La frecuencia angular:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot 10^{16}=6{,}28\cdot 10^{16}\ \text{rad/s}$

La longitud de onda, a partir de la velocidad de propagación en el vacío:

$\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{10^{16}}=3\cdot 10^{-8}\ \text{m}=30\ \text{nm}$

Y el número de onda:

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{3\cdot 10^{-8}}=2{,}09\cdot 10^{8}\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje X, la fase es $(\omega t-k x+\varphi_0)$. La fase inicial se obtiene de la gráfica: en $x=0$ y $t=0$ el campo vale cero y a continuación se hace negativo, es decir, está pasando por cero decreciendo.

$E(0,0)=E_0\sin\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{o}\ \varphi_0=\pi$

Se descarta $\varphi_0=0$ porque con esa fase la onda empezaría creciendo. Por tanto $\varphi_0=\pi$ y la ecuación pedida es:

$\vec E(x,t)=20\,\sin\left(6{,}28\cdot 10^{16}\,t-2{,}09\cdot 10^{8}\,x+\pi\right)\,\vec\jmath\ \ \text{V/m}$

o, lo que es lo mismo, sacando el signo del seno:

$\vec E(x,t)=-20\,\sin\left(6{,}28\cdot 10^{16}\,t-2{,}09\cdot 10^{8}\,x\right)\,\vec\jmath\ \ \text{V/m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos. El campo magnético acompañante vibra en el plano XZ, en fase con el eléctrico y con la misma dependencia, y su amplitud es $6{,}67\cdot 10^{-8}\ \text{T}$.