Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Un muelle de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$, masa despreciable y de 10 cm de longitud natural tiene uno de sus extremos fijos en una pared vertical, mientras que el otro extremo del muelle está unido a un bloque de masa $m = 1\ \text{kg}$ que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El muelle está en posición horizontal. Sobre el bloque se aplica una fuerza horizontal $\vec F$ que mantiene estirado el muelle hasta una longitud total de 16 cm. Desde esta posición, se suelta el bloque de forma que comienza a oscilar describiendo un movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.). Calcule:

a) El módulo de la fuerza $\vec F$ aplicada antes de ser liberado el sistema.

b) La frecuencia angular $\omega$ del m.v.a.s. que describe el bloque.

c) La ecuación del m.v.a.s. que describe la posición $x(t)$ del bloque en función del tiempo $t$.

d) La energía mecánica total del bloque mientras realiza ese m.v.a.s.

$\textbf{a) El módulo de la fuerza } \boldsymbol{\vec F}\textbf{ aplicada antes de ser liberado el sistema.}$










La posición de equilibrio del bloque es la que corresponde al muelle con su longitud natural, porque la superficie es horizontal y sin rozamiento. La deformación del muelle es, por tanto:

$A=16\ \text{cm}-10\ \text{cm}=6\ \text{cm}=0{,}06\ \text{m}$

y esa deformación es justamente la amplitud del movimiento.





Mientras el bloque está quieto, la fuerza aplicada equilibra a la fuerza recuperadora del muelle, que por la ley de Hooke vale $F_r=-k\,x$. En módulo:

$F=k\,A=100\cdot 0{,}06=6\ \text{N}$

Hay que aplicar una fuerza de $6\ \text{N}$ para mantener el muelle estirado.

$\textbf{b) La frecuencia angular } \boldsymbol{\omega}\textbf{ del m.v.a.s. que describe el bloque.}$

Al soltar el bloque, la única fuerza horizontal es la del muelle. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del movimiento armónico simple:

$-k\,x=m\,a\Rightarrow a=-\dfrac{k}{m}\,x$

Comparándola con $a=-\omega^{2}x$ se identifica la frecuencia angular:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{1}}=10\ \text{rad/s}$

La frecuencia angular es $10\ \text{rad/s}$, a la que corresponden un periodo $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=0{,}628\ \text{s}$ y una frecuencia $f=1{,}59\ \text{Hz}$.

$\textbf{c) La ecuación del m.v.a.s. que describe la posición } \boldsymbol{x(t)}\textbf{ del bloque en función del tiempo } \boldsymbol{t}\textbf{.}$

La elongación de un movimiento armónico simple es:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

Se toma el origen de posiciones en el punto de equilibrio y el sentido positivo el del estiramiento. En el instante inicial el bloque se suelta desde la elongación máxima y en reposo:

$x(0)=A\Rightarrow A\cos\varphi_0=A\Rightarrow \cos\varphi_0=1\Rightarrow \varphi_0=0$

Se comprueba que también se cumple la condición sobre la velocidad:

$v(0)=-A\,\omega\,\sin\varphi_0=0$

Por tanto:

$x(t)=0{,}06\,\cos(10\,t)\ \ \text{(}x\text{ en metros y }t\text{ en segundos)}$

$\textbf{d) La energía mecánica total del bloque mientras realiza ese m.v.a.s.}$

Al no haber rozamiento, la energía mecánica se conserva y es la que tenía el sistema en el instante de soltarlo: toda ella es energía potencial elástica, porque el bloque partía del reposo.

$E_m=\dfrac12\,k\,A^{2}=\dfrac12\cdot 100\cdot 0{,}06^{2}$

$E_m=0{,}18\ \text{J}$

La energía mecánica total del bloque es de $0{,}18\ \text{J}$. Al pasar por la posición de equilibrio toda ella es cinética, y de ahí sale la velocidad máxima $v_{\max}=A\,\omega=0{,}6\ \text{m/s}$.