Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2026

Un protón penetra con velocidad $v = 10^{6}\ \text{m/s}$ por el punto P en una región con un campo magnético $B = 0{,}8\ \text{T}$ perpendicular hacia dentro del papel (región sombreada en la figura). Si el protón abandona la región de campo magnético por el punto Q, calcule el ángulo $\phi$ y la distancia $d$.



Datos: carga del protón $q \approx 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón $m \approx 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$

$\textbf{Un protón penetra con velocidad } \boldsymbol{v = 10^{6}\ \text{m/s}}\textbf{ por el punto P en una región con un campo magnético } \boldsymbol{B = 0{,}8\ \text{T}}\textbf{ perpendicular hacia dentro del papel (región sombreada en la figura). Si el protón abandona la región de campo magnético por el punto Q, calcule el ángulo } \boldsymbol{\phi}\textbf{ y la distancia } \boldsymbol{d}\textbf{.}$










Dentro de la región, la única fuerza sobre el protón es la magnética:

$\vec F_m=q\,(\vec v\times\vec B)$

Es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta: el protón describe un arco de circunferencia de radio constante.





Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme:

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

$R=\dfrac{1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}8}=1{,}30\cdot 10^{-2}\ \text{m}$

Para obtener el ángulo de salida basta un argumento de simetría. El centro de la circunferencia está sobre la perpendicular a la velocidad trazada desde P, y como el borde de la región es una recta que corta a esa circunferencia en P y en Q, la cuerda PQ es simétrica respecto de la vertical que pasa por el centro. Por tanto, el ángulo que forma la velocidad con el borde al salir es el mismo que al entrar:

$\theta_{\text{salida}}=\theta=60^\circ$

El ángulo $\phi$ de la figura se mide respecto de la perpendicular al borde, es decir, es el complementario:

$\phi=90^\circ-60^\circ=30^\circ$

La distancia $d$ es la longitud de la cuerda PQ. El arco que recorre el protón abarca $180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ$, de modo que la cuerda vale:

$d=2\,R\,\sin\left(\dfrac{120^\circ}{2}\right)=2\,R\,\sin 60^\circ$

$d=2\cdot 1{,}30\cdot 10^{-2}\cdot 0{,}866=2{,}26\cdot 10^{-2}\ \text{m}$

El protón sale formando un ángulo $\phi=30^\circ$ con la normal al borde y a una distancia $d=2{,}26\cdot 10^{-2}\ \text{m}$, es decir, unos 2,3 cm del punto de entrada. Obsérvese que sale con la misma rapidez con la que entró: la fuerza magnética no realiza trabajo.