Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un estudiante de 2.º de Bachillerato sabe que un satélite geostacionario en órbita circular alrededor de la Tierra tiene un periodo orbital aproximado de un día. También sabe que el radio de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra supuesta circular es $R_{\text{L}} \approx 3{,}8\cdot 10^{5}\ \text{km}$ y que su periodo orbital es aproximadamente de 28 días. Sin embargo, no dispone de los datos de la masa de la Tierra ni de la constante de gravitación universal.

a) Con los datos del enunciado (es decir, sin usar los datos de la masa de la Tierra ni de la constante de gravitación universal $G$), calcule el radio $R_{\text{S}}$ de la órbita de un satélite geostacionario en órbita circular alrededor de la Tierra.

b) Con los datos del enunciado (es decir, sin usar los datos de la masa de la Tierra ni de la constante de gravitación universal $G$), calcule la energía mecánica total de un satélite geostacionario de 100 kg de masa.

$\textbf{a) Con los datos del enunciado (es decir, sin usar los datos de la masa de la Tierra ni de la constante de gravitación universal } \boldsymbol{G}\textbf{), calcule el radio } \boldsymbol{R_{\text{S}}}\textbf{ de la órbita de un satélite geostacionario en órbita circular alrededor de la Tierra.}$










La Luna y el satélite giran alrededor del mismo cuerpo central, así que se les puede aplicar la tercera ley de Kepler, que relaciona periodos y radios sin necesidad de conocer ni $G$ ni la masa de la Tierra:

$\dfrac{T_S^{2}}{R_S^{3}}=\dfrac{T_L^{2}}{R_L^{3}}$





Despejando el radio de la órbita geostacionaria:

$R_S^{3}=R_L^{3}\left(\dfrac{T_S}{T_L}\right)^{2}\Rightarrow R_S=R_L\sqrt[3]{\left(\dfrac{T_S}{T_L}\right)^{2}}$

Los dos periodos están dados en días, de modo que el cociente ya es adimensional y no hace falta pasarlos a segundos:

$R_S=3{,}8\cdot 10^{5}\ \text{km}\cdot\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{28}\right)^{2}}=3{,}8\cdot 10^{5}\cdot\dfrac{1}{9{,}22}$

$R_S=4{,}12\cdot 10^{4}\ \text{km}=4{,}12\cdot 10^{7}\ \text{m}$

El radio de la órbita geostacionaria es de $4{,}12\cdot 10^{7}\ \text{m}$, unos 41 200 km, es decir, algo más de seis radios terrestres.

$\textbf{b) Con los datos del enunciado (es decir, sin usar los datos de la masa de la Tierra ni de la constante de gravitación universal } \boldsymbol{G}\textbf{), calcule la energía mecánica total de un satélite geostacionario de 100 kg de masa.}$

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta y de ahí sale una relación que permite escribir la energía mecánica sin que aparezca $G\,M_T$:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}\Rightarrow G\dfrac{M_T\,m}{r}=m\,v^{2}$

$E_m=\dfrac12\,m\,v^{2}-G\dfrac{M_T\,m}{r}=\dfrac12\,m\,v^{2}-m\,v^{2}=-\dfrac12\,m\,v^{2}$

Así que basta con la velocidad orbital, y esa se obtiene del radio y del periodo, que ya son datos conocidos:

$v=\dfrac{2\pi R_S}{T_S}=\dfrac{2\pi\cdot 4{,}12\cdot 10^{7}}{86\,400}=2{,}997\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

$E_m=-\dfrac12\cdot 100\cdot\left(2{,}997\cdot 10^{3}\right)^{2}$

$E_m=-4{,}49\cdot 10^{8}\ \text{J}$

La energía mecánica del satélite geostacionario es de $-4{,}49\cdot 10^{8}\ \text{J}$. Es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio terrestre, y para calcularla no ha hecho falta ni la masa de la Tierra ni la constante de gravitación universal: la información equivalente estaba en el periodo y el radio de la órbita de la Luna.