Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · La Rioja · 2026

El radio-226 es radiactivo. Tenemos una muestra inicial de radio-226. Se sabe que dentro de 824 años el número de átomos de esa muestra habrá disminuido hasta el 70 % de su valor inicial.

a) Calcule el valor del período de semidesintegración $t_{1/2}$ del radio-226.

b) Si desde el momento inicial transcurren 2538 años, ¿qué porcentaje de esa muestra inicial de radio-226 se habrá desintegrado?

$\textbf{a) Calcule el valor del período de semidesintegración } \boldsymbol{t_{1/2}}\textbf{ del radio-226.}$










La desintegración radiactiva sigue la ley exponencial:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

El enunciado dice que al cabo de 824 años quedan el 70 % de los núcleos iniciales:

$\dfrac{N}{N_0}=0{,}70$





Se despeja la constante de desintegración tomando logaritmos neperianos:

$0{,}70=e^{-\lambda\cdot 824}\Rightarrow \ln 0{,}70=-\lambda\cdot 824$

$\lambda=-\dfrac{\ln 0{,}70}{824}=4{,}33\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la muestra. Imponiendo $N=N_0/2$ en la ley de desintegración se obtiene la relación conocida:

$\dfrac12=e^{-\lambda t_{1/2}}\Rightarrow t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

$t_{1/2}=\dfrac{0{,}693}{4{,}33\cdot 10^{-4}}=1{,}60\cdot 10^{3}\ \text{años}$

El período de semidesintegración del radio-226 es de unos $1{,}60\cdot 10^{3}$ años, es decir, 1601 años.

$\textbf{b) Si desde el momento inicial transcurren 2538 años, ¿qué porcentaje de esa muestra inicial de radio-226 se habrá desintegrado?}$

Se aplica de nuevo la ley de desintegración, ahora con $t=2538$ años y la constante ya calculada:

$\dfrac{N}{N_0}=e^{-\lambda t}=e^{-4{,}33\cdot 10^{-4}\cdot 2538}$

$\dfrac{N}{N_0}=e^{-1{,}0986}=0{,}3333$

Queda sin desintegrar la tercera parte de la muestra. Lo que se pide es el porcentaje que sí se ha desintegrado, que es el complementario:

$\dfrac{N_0-N}{N_0}=1-0{,}3333=0{,}6667$

Al cabo de 2538 años se habrá desintegrado el 66,7 % de la muestra inicial de radio-226 y quedará sin desintegrar el 33,3 % restante. Obsérvese que 2538 años es algo más de un período y medio de semidesintegración, lo que encaja con que quede aún un tercio de la muestra.