Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2026

Un electrón se mueve en línea recta a lo largo del semieje Y negativo con velocidad $\vec v = 5{,}5\cdot 10^{6}\,\vec\jmath\ \text{m/s}$. Cuando llega al origen O, se activa en esa zona un campo magnético uniforme $\vec B$ de módulo $7{,}8\cdot 10^{-3}\ \text{T}$ perpendicular a $\vec v$, de manera que el electrón se desvía y describe una órbita circular de radio $R$ en el plano YZ como muestra la figura.



a) Calcule el módulo de la fuerza magnética $\vec F_{m}$ que actúa sobre el electrón y el radio $R$ de la órbita circular que describe.

b) Determine de manera razonada la dirección y el sentido de $\vec B$ y $\vec F_{m}$ cuando el electrón pasa por el origen O. Haga una figura que represente los vectores $\vec B$, $\vec F_{m}$ y $\vec v$ en ese momento.

c) Calcule el módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico $\vec E$ que habría que activar al mismo tiempo que $\vec B$ para que el electrón no se desviara y siguiera su trayectoria recta inicial.

Datos: carga del electrón $q \approx -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m \approx 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$

$\textbf{a) Calcule el módulo de la fuerza magnética } \boldsymbol{\vec F_{m}}\textbf{ que actúa sobre el electrón y el radio } \boldsymbol{R}\textbf{ de la órbita circular que describe.}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es $\vec F_m=q\,(\vec v\times\vec B)$. Como el enunciado dice que $\vec B$ es perpendicular a $\vec v$, el módulo del producto vectorial es simplemente el producto de los módulos:

$F_m=|q|\,v\,B\,\sin 90^\circ=|q|\,v\,B$

$F_m=1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}5\cdot 10^{6}\cdot 7{,}8\cdot 10^{-3}$

$F_m=6{,}86\cdot 10^{-15}\ \text{N}$

Esa fuerza es perpendicular a la velocidad en todo momento, así que no cambia el módulo de la velocidad y actúa como fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

$R=\dfrac{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 5{,}5\cdot 10^{6}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 7{,}8\cdot 10^{-3}}=4{,}01\cdot 10^{-3}\ \text{m}$

La fuerza magnética vale $6{,}86\cdot 10^{-15}\ \text{N}$ y el radio de la órbita es de $4{,}01\cdot 10^{-3}\ \text{m}$, unos 4 milímetros.

$\textbf{b) Determine de manera razonada la dirección y el sentido de } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec F_{m}}\textbf{ cuando el electrón pasa por el origen O. Haga una figura que represente los vectores } \boldsymbol{\vec B}\textbf{, } \boldsymbol{\vec F_{m}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec v}\textbf{ en ese momento.}$










Se razona en dos pasos: primero se deduce hacia dónde apunta la fuerza y después qué campo la produce.

La trayectoria de la figura del enunciado es una circunferencia contenida en el plano YZ y tangente al eje Y en el origen, con su centro en el semieje Z positivo. La fuerza centrípeta apunta siempre hacia el centro, luego al pasar por O:

$\vec F_m=+F_m\,\vec k$





Como el campo es perpendicular a $\vec v$ y la órbita está en el plano YZ, el campo solo puede tener dirección del eje X. Se escribe $\vec B=B_x\,\vec\imath$ y se impone el resultado anterior:

$\vec F_m=q\,(\vec v\times\vec B)=q\,\left(v\,\vec\jmath\times B_x\,\vec\imath\right)=q\,v\,B_x\,(\vec\jmath\times\vec\imath)=-q\,v\,B_x\,\vec k$

El electrón tiene carga negativa, $q=-|q|$, de modo que:

$\vec F_m=+|q|\,v\,B_x\,\vec k$

Para que la fuerza vaya en el sentido positivo del eje Z ha de ser $B_x>0$. Por tanto:

$\vec B=7{,}8\cdot 10^{-3}\,\vec\imath\ \text{T}$

$\vec F_m=6{,}86\cdot 10^{-15}\,\vec k\ \text{N}$

El campo magnético tiene la dirección del eje X y el sentido positivo, y la fuerza magnética la dirección del eje Z y también el sentido positivo, perpendicular a la velocidad, tal y como muestra la figura.

$\textbf{c) Calcule el módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico } \boldsymbol{\vec E}\textbf{ que habría que activar al mismo tiempo que } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ para que el electrón no se desviara y siguiera su trayectoria recta inicial.}$










Para que el electrón siga en línea recta y con la misma velocidad, la fuerza total sobre él debe ser nula. Es el selector de velocidades:

$\vec F_E+\vec F_m=\vec 0$

$q\,\vec E=-q\,(\vec v\times\vec B)$





Dividiendo entre la carga —que es la misma en los dos términos— el campo eléctrico no depende del signo de la partícula:

$\vec E=-(\vec v\times\vec B)=-\left(v\,\vec\jmath\times B\,\vec\imath\right)=+v\,B\,\vec k$

$E=v\,B=5{,}5\cdot 10^{6}\cdot 7{,}8\cdot 10^{-3}=4{,}29\cdot 10^{4}\ \text{N/C}$

$\vec E=4{,}29\cdot 10^{4}\,\vec k\ \text{N/C}$

Hay que activar un campo eléctrico de módulo $4{,}29\cdot 10^{4}\ \text{N/C}$, con la dirección del eje Z y sentido positivo. Sobre el electrón, de carga negativa, ese campo ejerce una fuerza $\vec F_E=q\vec E$ dirigida hacia el eje Z negativo, de módulo $6{,}86\cdot 10^{-15}\ \text{N}$, que es exactamente la opuesta de la fuerza magnética.