Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

a) El planeta Urano tiene un periodo orbital alrededor del Sol de 84,3 años terrestres. La masa del Sol es de $2\cdot 10^{30}\ \text{kg}$. Suponiendo que Urano describe una órbita circular alrededor del Sol, calcule el radio de la órbita de Urano.

b) El radio del planeta Urano es de $2{,}54\cdot 10^{4}\ \text{km}$. La velocidad mínima inicial que debe tener un cuerpo en la superficie de Urano para poder escapar de su atracción gravitatoria es de 21,3 km/s. Calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Urano.

Dato: constante de gravitación universal $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) El planeta Urano tiene un periodo orbital alrededor del Sol de 84,3 años terrestres. La masa del Sol es de } \boldsymbol{2\cdot 10^{30}\ \text{kg}}\textbf{. Suponiendo que Urano describe una órbita circular alrededor del Sol, calcule el radio de la órbita de Urano.}$










La única fuerza que actúa sobre Urano es la atracción gravitatoria del Sol, y como la órbita es circular esa fuerza hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_S\,m_U}{r^2}=m_U\,\dfrac{v^2}{r}$

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$





Sustituyendo la velocidad orbital en la ecuación anterior y despejando se obtiene la tercera ley de Kepler:

$G\dfrac{M_S}{r^2}=\dfrac{1}{r}\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^{2}=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

$r^3=\dfrac{G\,M_S\,T^2}{4\pi^2}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_S\,T^2}{4\pi^2}}$

Se expresa el periodo en unidades del Sistema Internacional, tomando el año terrestre de 365 días:

$T=84{,}3\ \text{años}\cdot 365\,\dfrac{\text{días}}{\text{año}}\cdot 24\,\dfrac{\text{h}}{\text{día}}\cdot 3600\,\dfrac{\text{s}}{\text{h}}=2{,}66\cdot 10^{9}\ \text{s}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}\cdot\left(2{,}66\cdot 10^{9}\right)^{2}}{4\pi^2}}=2{,}88\cdot 10^{12}\ \text{m}$

El radio de la órbita de Urano es de $2{,}88\cdot 10^{12}\ \text{m}$, es decir, unos 19 veces la distancia de la Tierra al Sol.

$\textbf{b) El radio del planeta Urano es de } \boldsymbol{2{,}54\cdot 10^{4}\ \text{km}}\textbf{. La velocidad mínima inicial que debe tener un cuerpo en la superficie de Urano para poder escapar de su atracción gravitatoria es de 21,3 km/s. Calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Urano.}$

La velocidad mínima de la que habla el enunciado es la velocidad de escape. Se obtiene imponiendo la conservación de la energía mecánica entre la superficie del planeta y el infinito, donde el cuerpo llega con velocidad nula:

$-G\dfrac{M_U\,m}{R_U}+\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^{2}=0+0$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_U}{R_U}}$

Por otro lado, la aceleración de la gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio en ella:

$g_U=G\dfrac{M_U}{R_U^{2}}$

No hace falta calcular la masa de Urano: basta despejar $G\,M_U$ de la velocidad de escape y llevarlo a la expresión de $g_U$.

$G\,M_U=\dfrac{v_{\text{esc}}^{2}\,R_U}{2}\Rightarrow g_U=\dfrac{v_{\text{esc}}^{2}\,R_U}{2\,R_U^{2}}=\dfrac{v_{\text{esc}}^{2}}{2\,R_U}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R_U=2{,}54\cdot 10^{4}\ \text{km}=2{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad v_{\text{esc}}=21{,}3\ \text{km/s}=2{,}13\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$

$g_U=\dfrac{\left(2{,}13\cdot 10^{4}\right)^{2}}{2\cdot 2{,}54\cdot 10^{7}}=8{,}93\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración de la gravedad en la superficie de Urano es de $8{,}93\ \text{m/s}^{2}$, muy parecida a la terrestre pese a que Urano tiene una masa catorce veces mayor: su radio es también cuatro veces más grande y compensa el efecto.