Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

La vida media de un modelo de grapadoras sigue una distribución normal con una desviación típica de 60 días.

i) Si la media fuese de 950 días, ¿cuál sería la probabilidad de que la duración media de una muestra de 100 grapadoras superase los 959 días? (1,25 puntos)
ii) Si una muestra de 64 grapadoras tiene una vida media de 980 días, determina un intervalo de confianza del 90 % para la media de la producción. (1,25 puntos)

Se llama $X$ a la vida, en días, de una grapadora. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 60)$

$\textbf{i) Si la media fuese de 950 días, ¿cuál sería la probabilidad de que la duración media de una muestra de 100 grapadoras superase los 959 días? (1,25 puntos)}$

La variable de estudio es la media de la muestra, que al ser normal la población también lo es, con la misma media y desviación típica dividida por la raíz del tamaño:

$\overline{X}\sim N\left(950,\dfrac{60}{\sqrt{100}}\right)=N(950,\ 6)$

Se tipifica el valor 959 y se pasa a la cola de la derecha:

$P\left(\overline{X}>959\right)=P\left(Z>\dfrac{959-950}{6}\right)=P(Z>1{,}5)$

$P(Z>1{,}5)=1-P(Z\leq 1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$



La probabilidad de que la duración media de 100 grapadoras supere los 959 días es $0{,}0668$, es decir, un 6,68 %.

$\textbf{ii) Si una muestra de 64 grapadoras tiene una vida media de 980 días, determina un intervalo de confianza del 90 \% para la media de la producción. (1,25 puntos)}$

El intervalo de confianza para la media con desviación típica conocida es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico del 90 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}90 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}95 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}645$



$E=1{,}645\cdot\dfrac{60}{\sqrt{64}}=1{,}645\cdot 7{,}5=12{,}34$

$\left(980-12{,}34,\ 980+12{,}34\right)=\left(967{,}66,\ 992{,}34\right)$

El intervalo de confianza al 90 % para la vida media de las grapadoras es $(967{,}66;\ 992{,}34)$ días.