Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una residencia canina hay en total 120 perros; de ellos 40 son pastores alemanes (35 negros y 5 blancos), 30 pekineses (18 negros y 12 blancos) y 50 mastines (42 negros y 8 blancos).

i) Hemos elegido un perro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea pekinés? (0,75 puntos)
ii) Elegido al azar un perro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco? (0,75 puntos)
iii) Se ha elegido al azar un perro que ha resultado ser blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea un mastín? (1 punto)

Se ordena en una tabla de doble entrada la información del enunciado, que es lo que permite leer de un vistazo todos los totales.

$$	$\text{Negros}$	$\text{Blancos}$	$\text{Total}$
Pastores alemanes	$35$	$5$	$40$
Pequineses	$18$	$12$	$30$
Mastines	$42$	$8$	$50$
Total	$95$	$25$	$120$

Como los 120 perros son igualmente probables, todas las probabilidades se obtienen por la regla de Laplace.

$\textbf{i) Hemos elegido un perro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea pekinés? (0,75 puntos)}$

Conviene pasar por el suceso contrario, cuya probabilidad se lee directamente en el total de la fila.

$P(\text{pekinés})=\dfrac{30}{120}=\dfrac{1}{4}$

$P(\overline{\text{pekinés}})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

La probabilidad de que no sea pekinés es $\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

$\textbf{ii) Elegido al azar un perro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco? (0,75 puntos)}$

El total de perros blancos es la suma de la columna correspondiente:

$5+12+8=25$

$P(\text{blanco})=\dfrac{25}{120}=\dfrac{5}{24}\approx 0{,}2083$

La probabilidad de que el perro sea blanco es $\dfrac{5}{24}\approx 0{,}2083$, algo más de un 20 %.

$\textbf{iii) Se ha elegido al azar un perro que ha resultado ser blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea un mastín? (1 punto)}$

Es una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los 25 perros blancos, de los cuales 8 son mastines.

$P(\text{mastín}/\text{blanco})=\dfrac{P(\text{mastín}\cap\text{blanco})}{P(\text{blanco})}=\dfrac{\dfrac{8}{120}}{\dfrac{25}{120}}=\dfrac{8}{25}$

$P(\text{mastín}/\text{blanco})=0{,}32$

Sabiendo que el perro es blanco, la probabilidad de que sea mastín es $0{,}32$, menos que el $\frac{50}{120}\approx 0{,}417$ de partida: los mastines son mayoritariamente negros.