Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La producción de un invernadero depende de la temperatura a la que esté regulado. La cantidad de toneladas de verduras que produce viene dada por la siguiente función, en la que x indica la temperatura en grados Celsius:

$f(x)=(x+3)^{2}(36-x) \qquad (0\leq x\leq 36)$

i) ¿Para qué valor de x se obtiene la máxima producción? (1,5 puntos)
ii) ¿Cuántas toneladas se obtienen a esa temperatura? (0,5 puntos)
iii) ¿Para qué valores de x el invernadero no produce nada? (0,5 puntos)

$\textbf{i) ¿Para qué valor de x se obtiene la máxima producción? (1,5 puntos)}$

Se deriva la función aplicando la regla del producto y se saca factor común, que es lo que permite resolver la ecuación sin desarrollar el polinomio.

$f'(x)=2(x+3)(36-x)+(x+3)^{2}\cdot(-1)$

$f'(x)=(x+3)\left[2(36-x)-(x+3)\right]=(x+3)(72-2x-x-3)$

$f'(x)=(x+3)(69-3x)=3(x+3)(23-x)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-3 \\ x=23 \end{cases}$

Se descarta $x=-3$ porque no pertenece al intervalo $[0,36]$ que fija el enunciado. Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro del punto crítico:

$f'(10)=3\cdot 13\cdot 13>0;\qquad f'(30)=3\cdot 33\cdot(-7)<0$

La producción crece hasta los 23 grados y decrece a partir de ahí, luego en $x=23$ hay un máximo.



La máxima producción se obtiene regulando el invernadero a 23 grados Celsius.

$\textbf{ii) ¿Cuántas toneladas se obtienen a esa temperatura? (0,5 puntos)}$

Basta sustituir en la función.

$f(23)=(23+3)^{2}(36-23)=26^{2}\cdot 13=676\cdot 13$

$f(23)=8788$

A 23 grados se obtienen 8788 toneladas de verduras.

$\textbf{iii) ¿Para qué valores de x el invernadero no produce nada? (0,5 puntos)}$

Se anula la función, que ya está factorizada:

$(x+3)^{2}(36-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-3 \\ x=36 \end{cases}$

De nuevo se descarta $x=-3$ por caer fuera del intervalo de estudio, y además no tendría sentido comparar producciones a temperaturas que el enunciado excluye.

El invernadero no produce nada a 36 grados Celsius, que es el extremo superior del intervalo.