Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Sea la función $f(x)=a\,x^{2}+b\,x+c$.

i) Determina a, b y c sabiendo que el punto $(-2,1)$ pertenece a la gráfica de la función f y que, además, el punto $(-1,0)$ es un extremo relativo de f. (1,25 puntos)
ii) Determina el área que encierra la gráfica de f y el eje OX en el intervalo $[0,3]$. (1,25 puntos)

NOTA: si no has conseguido determinar a, b y c en el apartado anterior, toma $a=1$, $b=2$ y $c=1$ en este segundo apartado.

$\textbf{i) Determina a, b y c sabiendo que el punto } \boldsymbol{(-2,1)}\textbf{ pertenece a la gráfica de la función f y que, además, el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ es un extremo relativo de f. (1,25 puntos)}$

Cada condición del enunciado da una ecuación. Que el primer punto pertenezca a la gráfica:

$f(-2)=1 \Rightarrow 4a-2b+c=1$

Que el segundo pertenezca también:

$f(-1)=0 \Rightarrow a-b+c=0$

Y que en él la derivada se anule, por ser extremo relativo:

$f'(x)=2a\,x+b \Rightarrow f'(-1)=0 \Rightarrow -2a+b=0 \Rightarrow b=2a$

Se sustituye $b=2a$ en la segunda ecuación:

$a-2a+c=0 \Rightarrow c=a$

Y las dos en la primera:

$4a-4a+a=1 \Rightarrow a=1$

$b=2;\qquad c=1$

Los valores pedidos son $a=1$, $b=2$ y $c=1$, de modo que

$f(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$

$\textbf{ii) Determina el área que encierra la gráfica de f y el eje OX en el intervalo } \boldsymbol{[0,3]}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Antes de integrar hay que comprobar si la curva corta al eje dentro del intervalo, porque en ese caso habría que partir la integral. La función es un cuadrado perfecto, así que solo se anula en $x=-1$, que queda fuera de $[0,3]$; en todo el intervalo es positiva.

$f(0)=1>0$



El área coincide entonces con la integral definida:

$\mathcal{A}=\int_{0}^{3}(x+1)^{2}\,dx=\left[\dfrac{(x+1)^{3}}{3}\right]_{0}^{3}$

$=\dfrac{4^{3}}{3}-\dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{64-1}{3}=\dfrac{63}{3}$

$\mathcal{A}=21$

El área encerrada por la gráfica y el eje OX en $[0,3]$ es de 21 unidades de área.