Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función

$f(t)=\begin{cases} 2t^{2}, & 0\leq t<1 \\ 3t-1, & 1\leq t<2 \\ -5t+15, & 2\leq t\leq 3 \end{cases}$

i) Estudia razonadamente su continuidad. (0,75 puntos)
ii) Haz una representación gráfica de la función f. (1 punto)
iii) Si la función f representa la asistencia (en miles de personas) a un festival de música en función del tiempo t (medido en horas), ¿en qué momento la asistencia fue máxima? (Para qué valor de t). ¿Cuántas personas había en el festival en ese momento? (0,75 puntos)

$\textbf{i) Estudia razonadamente su continuidad. (0,75 puntos)}$

Dentro de cada tramo la función es polinómica —una parábola y dos rectas— y por tanto continua. Los únicos puntos que hay que estudiar son aquellos en los que cambia la definición.

En $t=1$:

$\lim_{t\to 1^{-}}f(t)=2\cdot 1^{2}=2;\qquad \lim_{t\to 1^{+}}f(t)=3\cdot 1-1=2$

En $t=2$:

$\lim_{t\to 2^{-}}f(t)=3\cdot 2-1=5;\qquad \lim_{t\to 2^{+}}f(t)=-5\cdot 2+15=5$

En los dos puntos los límites laterales coinciden con el valor de la función, de modo que $f$ es continua en todo el intervalo $[0,3]$: la asistencia al festival no da ningún salto.

$\textbf{ii) Haz una representación gráfica de la función f. (1 punto)}$

Basta con los extremos de cada tramo, porque el primero es un arco de parábola y los otros dos son segmentos de recta:

$f(0)=0;\quad f(1)=2;\quad f(2)=5;\quad f(3)=0$



$\textbf{iii) ¿En qué momento la asistencia fue máxima? (Para qué valor de t). ¿Cuántas personas había en el festival en ese momento? (0,75 puntos)}$

Se estudia el comportamiento en cada tramo. En $[0,1)$ la función $2t^{2}$ crece; en $[1,2)$ la recta $3t-1$ tiene pendiente positiva y también crece; en $[2,3]$ la recta $-5t+15$ tiene pendiente negativa y decrece.

El máximo está, por tanto, en el punto donde la función pasa de crecer a decrecer, que es $t=2$.

$f(2)=5$

La asistencia fue máxima a las 2 horas del comienzo, y en ese momento había 5 mil personas en el festival, es decir, 5000 asistentes.