Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Si $A=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$:

i) Calcula $A^{2}$ y $A^{3}$. (0,5 puntos)
ii) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, calcula $A^{15}$ y $A^{30}$. (1 punto)
iii) Resuelve la ecuación matricial $A\,X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. (1 punto)

$\textbf{i) Calcula } \boldsymbol{A^{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{3}}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Se multiplica la matriz por sí misma.

$A^{2}=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{pmatrix}$

$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

$A^{3}=A^{2}\cdot A=I\cdot A=A=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$\textbf{ii) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, calcula } \boldsymbol{A^{15}}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{30}}\textbf{. (1 punto)}$

Como el cuadrado es la identidad, las potencias se repiten de dos en dos: las de exponente par valen $I$ y las de exponente impar valen $A$. Basta descomponer cada exponente.

$A^{15}=A^{14}\cdot A=\left(A^{2}\right)^{7}\cdot A=I^{7}\cdot A=A=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{30}=\left(A^{2}\right)^{15}=I^{15}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{iii) Resuelve la ecuación matricial } \boldsymbol{A\,X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. (1 punto)}$

De la igualdad $A^{2}=I$ se deduce directamente la inversa, sin necesidad de calcularla por adjuntos: la matriz que multiplicada por $A$ da la identidad es ella misma.

$A^{-1}=A$

Se despeja $X$ multiplicando por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$:

$X=A^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} -2+3 & -2+3 \\ -1+2 & -1+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$A\,X=\begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

La solución es $X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, la misma matriz del segundo miembro.