Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Un hospital está especializado en el tratamiento de 3 enfermedades A, B, C. El 40 % de los pacientes ingresan con la enfermedad A, el 35 % con la enfermedad B y el 25 % con la enfermedad C. La probabilidad de curación de la enfermedad A es el 80 %, de la B el 60 % y de la C el 90 %.

i) José ingresa en el hospital (no sabemos cual de las tres enfermedades padece). ¿Cuál es la probabilidad de que se cure? (1 punto)
ii) Miguel ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ingresara padeciendo la enfermedad B? (1 punto)
iii) Rosa ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que NO padeciera la enfermedad B? (0,5 puntos)

Se nombran los sucesos:

$A,\ B,\ C \equiv$ el paciente ingresa con esa enfermedad,

$S \equiv$ el paciente se cura.

Del enunciado se leen las proporciones de ingresos y las probabilidades de curación de cada enfermedad:

$P(A)=0{,}40;\qquad P(B)=0{,}35;\qquad P(C)=0{,}25$

$P(S/A)=0{,}80;\qquad P(S/B)=0{,}60;\qquad P(S/C)=0{,}90$



$\textbf{i) José ingresa en el hospital (no sabemos cual de las tres enfermedades padece). ¿Cuál es la probabilidad de que se cure? (1 punto)}$

Las tres enfermedades forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en curación.

$P(S)=P(A)P(S/A)+P(B)P(S/B)+P(C)P(S/C)$

$P(S)=0{,}40\cdot 0{,}80+0{,}35\cdot 0{,}60+0{,}25\cdot 0{,}90$

$P(S)=0{,}32+0{,}21+0{,}225=0{,}755$

La probabilidad de que José se cure es $0{,}755$, es decir, un 75,5 %.

$\textbf{ii) Miguel ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ingresara padeciendo la enfermedad B? (1 punto)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes con el denominador ya calculado.

$P(B/S)=\dfrac{P(B)P(S/B)}{P(S)}=\dfrac{0{,}21}{0{,}755}$

$P(B/S)=\dfrac{42}{151}\approx 0{,}2781$

La probabilidad de que Miguel ingresara con la enfermedad B es $\dfrac{42}{151}\approx 0{,}2781$, algo menos que el 35 % de partida: la B es la que menos se cura, así que haberse curado la hace menos verosímil.

$\textbf{iii) Rosa ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que NO padeciera la enfermedad B? (0,5 puntos)}$

Es el suceso contrario del anterior dentro del mismo espacio reducido.

$P\left(\overline{B}/S\right)=1-P(B/S)=1-\dfrac{42}{151}=\dfrac{109}{151}$

La probabilidad de que Rosa no padeciera la enfermedad B es $\dfrac{109}{151}\approx 0{,}7219$, es decir, un 72,19 %.