Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una clase hay 24 estudiantes, 12 de ellos han aprobado inglés, 16 han aprobado matemáticas y 4 han suspendido las dos asignaturas.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado matemáticas y haya suspendido inglés? (0,75 puntos)
ii) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado las dos asignaturas? (0,75 puntos)
iii) ¿Son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar inglés? (1 punto)

Se nombran los sucesos:

$I \equiv$ el alumno ha aprobado inglés,

$M \equiv$ el alumno ha aprobado matemáticas.

Como los 24 alumnos son igualmente probables, las probabilidades se obtienen por la regla de Laplace. Que 4 hayan suspendido las dos asignaturas significa que 20 han aprobado al menos una:

$P(I)=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2};\qquad P(M)=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}$

$P(I\cup M)=\dfrac{24-4}{24}=\dfrac{20}{24}=\dfrac{5}{6}$

De la fórmula de la probabilidad de la unión se despeja la de la intersección:

$P(I\cap M)=P(I)+P(M)-P(I\cup M)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}$

$=\dfrac{3+4-5}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Con este dato se reparten las cuatro zonas del diagrama: 8 alumnos aprueban las dos, 4 solo inglés, 8 solo matemáticas y 4 ninguna.



$\textbf{i) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado matemáticas y haya suspendido inglés? (0,75 puntos)}$

Es la zona de $M$ que queda fuera de $I$:

$P\left(M\cap\overline{I}\right)=P(M)-P(M\cap I)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

La probabilidad es $\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$, que corresponde a 8 de los 24 alumnos.

$\textbf{ii) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado las dos asignaturas? (0,75 puntos)}$

Es la intersección, ya calculada:

$P(I\cap M)=\dfrac{1}{3}$

La probabilidad de que haya aprobado las dos asignaturas es $\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$: 8 alumnos de los 24.

$\textbf{iii) ¿Son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar inglés? (1 punto)}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Se comparan los dos valores:

$P(I)\cdot P(M)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

$P(I\cap M)=\dfrac{1}{3}$

Los dos valores coinciden, así que los sucesos sí son independientes: saber que un alumno ha aprobado inglés no cambia la probabilidad de que haya aprobado matemáticas.