Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El número de usuarios diarios del transporte metropolitano sigue una distribución normal con desviación típica 108.

i) Si la media de usuarios diarios fuese 1700, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de usuarios de 36 días fuese más de 1678? (1,25 puntos)
ii) En los 100 primeros días del año, la media diaria de usuarios ha sido 1750, determina un intervalo de confianza del 95 % para la media de viajeros. (1,25 puntos)

Se llama $X$ al número de usuarios diarios del transporte metropolitano. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 108)$

$\textbf{i) Si la media de usuarios diarios fuese 1700, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de usuarios de 36 días fuese más de 1678? (1,25 puntos)}$

La variable de estudio es la media de la muestra, que al ser normal la población también lo es, con la misma media y desviación típica dividida por la raíz del tamaño:

$\overline{X}\sim N\left(1700,\dfrac{108}{\sqrt{36}}\right)=N(1700,\ 18)$

Se tipifica el valor 1678, que queda por debajo de la media:

$P\left(\overline{X}>1678\right)=P\left(Z>\dfrac{1678-1700}{18}\right)=P(Z>-1{,}22)$

Las tablas solo recogen abscisas positivas, así que se usa la simetría de la campana: la cola de la derecha de $-1{,}22$ tiene la misma área que la de la izquierda de $1{,}22$.

$P(Z>-1{,}22)=P(Z<1{,}22)=0{,}8888$



La probabilidad de que la media de 36 días supere los 1678 usuarios es $0{,}8888$, es decir, un 88,88 %.

$\textbf{ii) En los 100 primeros días del año, la media diaria de usuarios ha sido 1750, determina un intervalo de confianza del 95 \% para la media de viajeros. (1,25 puntos)}$

El intervalo de confianza para la media con desviación típica conocida es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico del 95 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



$E=1{,}96\cdot\dfrac{108}{\sqrt{100}}=1{,}96\cdot 10{,}8=21{,}17$

$\left(1750-21{,}17,\ 1750+21{,}17\right)=\left(1728{,}83,\ 1771{,}17\right)$

El intervalo de confianza al 95 % para la media diaria de viajeros es $(1728{,}83;\ 1771{,}17)$ usuarios.