Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La parte positiva de la función $f(t)=-2t^{2}+16t$ indica la gravedad de un enfermo desde que contrae una determinada enfermedad hasta que vuelve a estar sano.

i) Haz un esbozo de la gráfica de la función. (0,5 puntos)
ii) Si la variable t se mide en días, ¿cuántos días dura la enfermedad? (1 punto)
iii) ¿En qué día del proceso está más grave el enfermo? (1 punto)

$\textbf{i) Haz un esbozo de la gráfica de la función. (0,5 puntos)}$

La función es una parábola con el coeficiente principal negativo, luego sus ramas van hacia abajo. Se factoriza para localizar los cortes con el eje de abscisas:

$f(t)=-2t^{2}+16t=2t(8-t)$

$f(t)=0 \Rightarrow \begin{cases} t=0 \\ t=8 \end{cases}$

El vértice está en el punto medio de esos dos cortes:

$t_{V}=\dfrac{-16}{2\cdot(-2)}=4 \Rightarrow f(4)=-32+64=32$



$\textbf{ii) Si la variable t se mide en días, ¿cuántos días dura la enfermedad? (1 punto)}$

El enunciado dice que es la parte positiva de la función la que describe la enfermedad, así que hay que ver en qué intervalo $f(t)>0$. Al abrirse la parábola hacia abajo, eso ocurre entre sus dos raíces:

$f(t)>0 \Longleftrightarrow 0<t<8$

La enfermedad empieza en $t=0$ y el enfermo vuelve a estar sano en $t=8$.

La enfermedad dura 8 días.

$\textbf{iii) ¿En qué día del proceso está más grave el enfermo? (1 punto)}$

La gravedad máxima es el máximo de la función, que en una parábola de ramas hacia abajo está en el vértice. Se confirma derivando:

$f'(t)=-4t+16$

$f'(t)=0 \Rightarrow t=4$

$f''(t)=-4<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $t=4$ hay un máximo.

El enfermo está más grave el cuarto día, justo en la mitad del proceso, y su gravedad alcanza entonces el valor 32.