Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función

$f(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ x^{2}, & 0\leq x<1 \\ a\,x-2, & 1\leq x \end{cases}$

i) ¿Para qué valor de a la función es continua? (0,75 puntos)
ii) Utilizando el valor de a del apartado (I), esboza una gráfica de la función f. (0,75 puntos)
iii) Con el valor de a del apartado (I), calcula el área encerrada por la gráfica de la función f, el eje OX y la recta $x=3$. (1 punto)

NOTA: si no has conseguido determinar a, toma $a=3$ en los apartados (II) e (III).

$\textbf{i) ¿Para qué valor de a la función es continua? (0,75 puntos)}$

Dentro de cada tramo la función es continua —una constante, una parábola y una recta—, así que solo hay que estudiar los dos puntos donde cambia la definición.

En $x=0$ los límites laterales coinciden sea cual sea $a$:

$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0;\qquad \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0^{2}=0$

En $x=1$ se impone la igualdad:

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=1^{2}=1;\qquad \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=a-2$

$a-2=1 \Rightarrow a=3$

Para $a=3$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{ii) Utilizando el valor de a del apartado (I), esboza una gráfica de la función f. (0,75 puntos)}$

Con $a=3$ la función vale 0 hasta el origen, sube por la parábola $y=x^{2}$ hasta el punto $(1,1)$ y continúa por la recta $y=3x-2$, que pasa por ese mismo punto.



$\textbf{iii) Con el valor de a del apartado (I), calcula el área encerrada por la gráfica de la función f, el eje OX y la recta } \boldsymbol{x=3}\textbf{. (1 punto)}$

Para $x<0$ la gráfica es el propio eje de abscisas y no encierra nada, de modo que el recinto empieza en el origen. Entre 0 y 3 la función es positiva —solo se anula en $x=0$—, así que el área coincide con la integral, que hay que partir en los dos tramos.



$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{1}^{3}(3x-2)\,dx$

$\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}$

$\int_{1}^{3}(3x-2)\,dx=\left[\dfrac{3x^{2}}{2}-2x\right]_{1}^{3}=\left(\dfrac{27}{2}-6\right)-\left(\dfrac{3}{2}-2\right)=\dfrac{15}{2}+\dfrac{1}{2}=8$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}+8=\dfrac{25}{3}$

El área encerrada es de $\dfrac{25}{3}\approx 8{,}33$ unidades de área.