Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

Consideramos la función $f(x)=x^{4}-a\,x^{2}+b$.

i) ¿Qué valores deben tomar a y b para que la función tenga un mínimo en el punto $(1,0)$? (1 punto)
ii) Con los valores de a y b del apartado (I), calcula los puntos donde $f(x)$ tiene tangente paralela a la recta $y=1$. (1 punto)
iii) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x=1$. (0,5 puntos)

NOTA: si no has conseguido determinar a y b en el apartado anterior, toma $a=2$ y $b=1$ en los apartados (II) e (III).

$\textbf{i) ¿Qué valores deben tomar a y b para que la función tenga un mínimo en el punto } \boldsymbol{(1,0)}\textbf{? (1 punto)}$

Que haya un extremo en el punto $(1,0)$ impone dos condiciones: que la gráfica pase por él y que la derivada se anule ahí.

$f'(x)=4x^{3}-2a\,x$

$f'(1)=0 \Rightarrow 4-2a=0 \Rightarrow a=2$

$f(1)=0 \Rightarrow 1-a+b=0 \Rightarrow b=a-1=1$

Falta comprobar que se trata de un mínimo y no de otro tipo de punto crítico:

$f''(x)=12x^{2}-2a=12x^{2}-4 \Rightarrow f''(1)=8>0$

Al ser la segunda derivada positiva, en $x=1$ hay efectivamente un mínimo. Los valores pedidos son $a=2$ y $b=1$.

$\textbf{ii) Con los valores de a y b del apartado (I), calcula los puntos donde } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene tangente paralela a la recta } \boldsymbol{y=1}\textbf{. (1 punto)}$

La recta $y=1$ es horizontal, de pendiente nula, así que se buscan los puntos en los que la derivada se anula.

$f(x)=x^{4}-2x^{2}+1=\left(x^{2}-1\right)^{2}$

$f'(x)=4x^{3}-4x=4x\left(x^{2}-1\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow 4x(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=1 \\ x=-1 \end{cases}$

Se calcula la ordenada de cada uno:

$f(0)=1;\qquad f(1)=0;\qquad f(-1)=1-2+1=0$



La función tiene tangente paralela a $y=1$ en los puntos $(-1,0)$, $(0,1)$ y $(1,0)$: los dos mínimos y el máximo relativo que queda entre ellos.

$\textbf{iii) Calcula la recta tangente a la función en el punto } \boldsymbol{x=1}\textbf{. (0,5 puntos)}$

La recta tangente en un punto de abscisa $x_{0}$ tiene por ecuación $y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$. Los dos valores ya están calculados:

$f(1)=0;\qquad f'(1)=0$

$y-0=0\cdot(x-1)$

La recta tangente en $x=1$ es $y=0$, es decir, el propio eje de abscisas, que en ese punto toca a la curva sin atravesarla.