Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Los beneficios de una empresa vienen dados por la función $f(x,y)=x+y+1$ pero está sujeta a las siguientes restricciones:

$4x+y\geq 8; \quad 3x-2y\leq 12; \quad x+5y\leq 21; \quad x\geq 0; \quad y\geq 0.$

i) Dibuja en el plano la región factible que representa estas restricciones. (1,25 puntos)
ii) Para qué valores de x e y obtiene la empresa el beneficio máximo. (1,25 puntos)

$\textbf{i) Dibuja en el plano la región factible que representa estas restricciones. (1,25 puntos)}$

Se dibuja la recta frontera de cada restricción a partir de dos de sus puntos y se toma el semiplano correspondiente.

$4x+y=8$	$3x-2y=12$	$x+5y=21$
$(2,0)$	$(4,0)$	$(21,0)$
$(0,8)$	$(0,-6)$	$(1,4)$

El origen cumple la segunda y la tercera desigualdad, pero no la primera: $4\cdot 0+0=0<8$. La región factible queda, por tanto, al otro lado de la recta $4x+y=8$ y del mismo lado que el origen en las otras dos. Es el cuadrilátero coloreado en azul.



$\textbf{ii) Para qué valores de x e y obtiene la empresa el beneficio máximo. (1,25 puntos)}$

Primero se calculan los vértices, cortando las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} y=0 \\ 4x+y=8 \end{cases} \Rightarrow A(2,0);\qquad \begin{cases} y=0 \\ 3x-2y=12 \end{cases} \Rightarrow B(4,0)$

$\begin{cases} 3x-2y=12 \\ x+5y=21 \end{cases} \Rightarrow x=\dfrac{12+2y}{3} \Rightarrow 12+2y+15y=63 \Rightarrow y=3 \Rightarrow C(6,3)$

$\begin{cases} 4x+y=8 \\ x+5y=21 \end{cases} \Rightarrow y=8-4x \Rightarrow x+40-20x=21 \Rightarrow x=1 \Rightarrow D(1,4)$

Conviene notar que los cortes de las rectas con el eje de ordenadas no son vértices: $(0,8)$ incumple $x+5y\leq 21$ y $\left(0,\frac{21}{5}\right)$ incumple $4x+y\geq 8$.

La región es acotada y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora el beneficio en los cuatro:

$f(2,0)=2+0+1=3;\qquad f(4,0)=4+0+1=5$

$f(6,3)=6+3+1=10;\qquad f(1,4)=1+4+1=6$

La empresa obtiene el beneficio máximo, de 10 unidades, con $x=6$ e $y=3$.