Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada una matriz cuadrada A:

i) ¿Puede saberse si tiene inversa sin calcularla explícitamente? ¿Cómo? (0,5 puntos)
ii) Sea ahora A la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Halla, si existe, la inversa de A. (0,75 puntos)
iii) Si A es la matriz del apartado anterior, determina las matrices X e Y de orden 2 tales que: (1,25 puntos)

$\begin{cases} 3X+2Y=A \\ X+Y=2A \end{cases}$

$\textbf{i) ¿Puede saberse si tiene inversa sin calcularla explícitamente? ¿Cómo? (0,5 puntos)}$

Sí. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, de modo que basta con calcular ese único número.

$\exists A^{-1} \Longleftrightarrow |A|\neq 0$

La razón es que de $A\cdot A^{-1}=I$ se sigue $|A|\cdot\left|A^{-1}\right|=1$, y para que ese producto valga 1 ninguno de los dos factores puede ser nulo. Cuando el determinante no se anula la matriz se llama regular, y cuando se anula, singular.

$\textbf{ii) Sea ahora A la matriz. Halla, si existe, la inversa de A. (0,75 puntos)}$

Se calcula el determinante:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=3-2=1\neq 0$

La matriz es regular y tiene inversa. Al ser de orden 2 basta con intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar de signo los de la secundaria y dividir por el determinante:

$A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

$\textbf{iii) Si A es la matriz del apartado anterior, determina las matrices X e Y de orden 2 tales que: (1,25 puntos)}$

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas. Como las matrices solo aparecen sumadas y multiplicadas por números, se resuelve por sustitución igual que un sistema numérico.

De la segunda ecuación se despeja $Y$:

$Y=2A-X$

y se lleva a la primera:

$3X+2(2A-X)=A \Rightarrow 3X+4A-2X=A$

$X=A-4A=-3A$

$Y=2A-(-3A)=5A$

Ahora se sustituye la matriz concreta:

$X=-3\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & -6 \\ -3 & -9 \end{pmatrix}$

$Y=5\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 5 & 15 \end{pmatrix}$

Se comprueban las dos ecuaciones sin necesidad de operar con los números, usando que ambas incógnitas son múltiplos de $A$:

$3X+2Y=-9A+10A=A;\qquad X+Y=-3A+5A=2A$