Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales donde a es un número real

$\begin{cases} a\,y+a\,z=0 \\ y+z=0 \\ 4x-2y+a\,z=a \end{cases}$

i) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema es compatible y determinado? (0,75 puntos)
ii) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema no tenga soluciones? (0,5 puntos)
iii) Resuelve el sistema si $a=0$. (1,25 puntos)

$\textbf{i) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema es compatible y determinado? (0,75 puntos)}$

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es compatible determinado cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula, así que se empieza por calcularlo. Conviene desarrollar por la primera columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & a & a \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & a \end{vmatrix}=4\begin{vmatrix} a & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=4(a-a)=0$

El determinante es nulo sea cual sea el valor de $a$, porque la primera fila es siempre $a$ veces la segunda.

No existe ningún valor de $a$ para el que el sistema sea compatible determinado.

$\textbf{ii) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema no tenga soluciones? (0,5 puntos)}$

La proporcionalidad entre las dos primeras filas se mantiene también en la matriz ampliada, porque los dos términos independientes son nulos:

$a\cdot(0,1,1\mid 0)=(0,a,a\mid 0)$

La primera ecuación es, por tanto, redundante: se obtiene multiplicando la segunda por $a$. Quedan solo dos ecuaciones independientes, y el menor formado por las dos últimas filas y las dos primeras columnas no se anula nunca:

$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}=0-4=-4\neq 0$

Así que $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{*})=2$ para todo $a$, y por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es siempre compatible indeterminado, con un grado de libertad.

No existe ningún valor de $a$ para el que el sistema carezca de soluciones.

$\textbf{iii) Resuelve el sistema si } \boldsymbol{a=0}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Para $a=0$ la primera ecuación desaparece —queda $0=0$— y el sistema se reduce a

$\begin{cases} y+z=0 \\ 4x-2y=0 \end{cases}$

Como sobra una incógnita, se toma $z$ como parámetro:

$z=\lambda \Rightarrow y=-\lambda$

$4x=2y=-2\lambda \Rightarrow x=-\dfrac{\lambda}{2}$

Se comprueba en la tercera ecuación original: $4\left(-\frac{\lambda}{2}\right)-2(-\lambda)+0=-2\lambda+2\lambda=0$.

El sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta

$(x,y,z)=\left(-\dfrac{\lambda}{2},\ -\lambda,\ \lambda\right),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$