Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Hace un siglo, en cierto país el porcentaje de hombres y mujeres entre la población adulta era en ambos casos del 50 %. El porcentaje de fumadores entre los hombres era del 60 %, mientras que únicamente fumaba la décima parte de las mujeres.

i) ¿Cuál era el porcentaje de personas fumadoras entre la población adulta de ese país? (1 punto)
ii) Entre las personas fumadoras, ¿cuál era el porcentaje de mujeres? (1 punto)
iii) El abuelo Joaquín decía que una persona era «como Dios manda» si o bien era hombre y fumaba o bien era mujer y no fumaba. ¿Qué porcentaje de personas adultas era como Dios manda, según el abuelo Joaquín? (0.5 puntos)

Se nombran los sucesos:

$H \equiv$ la persona es hombre, $M \equiv$ la persona es mujer,

$F \equiv$ la persona fuma.

Del enunciado se leen las proporciones de la población y las condicionadas:

$P(H)=P(M)=0{,}5$

$P(F/H)=0{,}6;\qquad P(F/M)=\dfrac{1}{10}=0{,}1$



$\textbf{i) ¿Cuál era el porcentaje de personas fumadoras entre la población adulta de ese país? (1 punto)}$

Hombres y mujeres forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que terminan en $F$.

$P(F)=P(H)P(F/H)+P(M)P(F/M)$

$P(F)=0{,}5\cdot 0{,}6+0{,}5\cdot 0{,}1=0{,}30+0{,}05=0{,}35$

El 35 % de la población adulta fumaba.

$\textbf{ii) Entre las personas fumadoras, ¿cuál era el porcentaje de mujeres? (1 punto)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes con el denominador ya calculado.

$P(M/F)=\dfrac{P(M)P(F/M)}{P(F)}=\dfrac{0{,}05}{0{,}35}$

$P(M/F)=\dfrac{1}{7}\approx 0{,}1429$

Entre las personas fumadoras las mujeres eran aproximadamente el 14,29 %: apenas una de cada siete, pese a ser la mitad de la población.

$\textbf{iii) El abuelo Joaquín decía que una persona era «como Dios manda» si o bien era hombre y fumaba o bien era mujer y no fumaba. ¿Qué porcentaje de personas adultas era como Dios manda, según el abuelo Joaquín? (0.5 puntos)}$

Son dos sucesos incompatibles —nadie es hombre y mujer a la vez—, de modo que la probabilidad de la unión es la suma de las dos ramas correspondientes del árbol.

$P\left((H\cap F)\cup(M\cap\overline{F})\right)=P(H)P(F/H)+P(M)P(\overline{F}/M)$

$=0{,}5\cdot 0{,}6+0{,}5\cdot 0{,}9=0{,}30+0{,}45=0{,}75$

Según el criterio del abuelo Joaquín, el 75 % de las personas adultas era «como Dios manda».