Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Haz un dibujo de la gráfica de la función $f(x)=(x-1)(x-4)$, señalando si existen sus máximos y mínimos. (0.75 puntos)

Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica y la recta $y=10$. (1.75 puntos)

$\textbf{Haz un dibujo de la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)=(x-1)(x-4)}\textbf{, señalando si existen sus máximos y mínimos. (0.75 puntos)}$

Se desarrolla el producto para reconocer la parábola:

$f(x)=(x-1)(x-4)=x^{2}-5x+4$

El coeficiente principal es positivo, luego las ramas van hacia arriba. Corta al eje de abscisas donde se anula cada factor y su vértice está en el punto medio de esos dos cortes:

$(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=4 \end{cases}$

$x_{V}=\dfrac{-(-5)}{2\cdot 1}=\dfrac{5}{2} \Rightarrow f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{9}{4}$



La función tiene un mínimo absoluto —y relativo— en el vértice $\left(\frac{5}{2},-\frac{9}{4}\right)$, y no tiene ningún máximo: al abrirse las ramas hacia arriba, crece sin límite a los dos lados.

$\textbf{Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica y la recta } \boldsymbol{y=10}\textbf{. (1.75 puntos)}$

Los extremos del recinto son los puntos en que la recta corta a la parábola:

$x^{2}-5x+4=10 \Rightarrow x^{2}-5x-6=0$

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{2}=\dfrac{5\pm 7}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=6 \\ x=-1 \end{cases}$

Entre esas dos abscisas la recta queda por encima de la parábola, así que el integrando es la recta menos la curva.



$\mathcal{A}=\int_{-1}^{6}\left[10-\left(x^{2}-5x+4\right)\right]dx=\int_{-1}^{6}\left(6+5x-x^{2}\right)dx$

$=\left[6x+\dfrac{5x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{6}$

$=\left(36+90-72\right)-\left(-6+\dfrac{5}{2}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right)$

$=54-\left(-\dfrac{19}{6}\right)=54+\dfrac{19}{6}=\dfrac{343}{6}$

El área de la región es de $\dfrac{343}{6}\approx 57{,}17$ unidades de área.