Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Consideramos la función f dada por $f(x)=x^{3}-3x$.

a) Halla sus extremos relativos. (1.25 puntos)
b) ¿Cuánto vale $f'(1)$? ¿Cuál es la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(1,f(1))$? (0.75 puntos)
c) ¿En qué otro punto $(t,f(t))$ corta dicha recta a la gráfica de f? (0.5 puntos)

Nota: si no has sabido responder al apartado (b), en (c) debes resolver la ecuación $f(x)=f(1)$.

$\textbf{a) Halla sus extremos relativos. (1.25 puntos)}$

Se deriva la función y se iguala a cero.

$f'(x)=3x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$f'(-2)=9>0;\qquad f'(0)=-3<0;\qquad f'(2)=9>0$



En $x=-1$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=1$ de decrecer a crecer. Se confirma con la segunda derivada:

$f''(x)=6x \Rightarrow f''(-1)=-6<0;\qquad f''(1)=6>0$

$f(-1)=-1+3=2;\qquad f(1)=1-3=-2$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,-2)$.

$\textbf{b) ¿Cuánto vale } \boldsymbol{f'(1)}\textbf{? ¿Cuál es la recta tangente a la curva } \boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{(1,f(1))}\textbf{? (0.75 puntos)}$

El punto $x=1$ es justamente el mínimo relativo, así que la derivada se anula ahí:

$f'(1)=3-3=0$

La recta tangente tiene por ecuación $y-f(1)=f'(1)(x-1)$, y al ser nula la pendiente resulta horizontal:

$y-(-2)=0\cdot(x-1) \Rightarrow y=-2$

La recta tangente en el punto $(1,-2)$ es la horizontal $y=-2$.

$\textbf{c) ¿En qué otro punto } \boldsymbol{(t,f(t))}\textbf{ corta dicha recta a la gráfica de f? (0.5 puntos)}$

Se igualan la función y la recta:

$x^{3}-3x=-2 \Rightarrow x^{3}-3x+2=0$

Se sabe de antemano que $x=1$ es solución —es el punto de tangencia— y, por serlo de tangencia, es una raíz doble. Factorizando:

$x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2)$

$(x-1)^{2}(x+2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \text{ (doble)} \\ x=-2 \end{cases}$

$f(-2)=-8+6=-2$



La recta $y=-2$ vuelve a cortar a la gráfica en el punto $(-2,-2)$.