Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Representa gráficamente la función

$f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}+2x+1},$

de forma que se aprecien claramente su dominio, sus asíntotas verticales y horizontales, sus cortes con los ejes, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos. (2.5 puntos)

$\textbf{Representa gráficamente la función, de forma que se aprecien claramente su dominio, sus asíntotas verticales y horizontales, sus cortes con los ejes, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos. (2.5 puntos)}$

Conviene empezar factorizando denominador y numerador, porque así se leen a la vez el dominio y los cortes.

$f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}+2x+1}=\dfrac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}$

El denominador es un cuadrado perfecto que se anula solo en $x=-1$:

$\text{Dom } f=\mathbb{R}-\{-1\}$

En ese punto el numerador vale $(-1)(-3)=3\neq 0$, así que hay asíntota vertical. Como el denominador es un cuadrado, es positivo a los dos lados y los dos límites laterales valen lo mismo:

$\lim_{x\to -1}\dfrac{x(x-2)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{3}{0^{+}}=+\infty$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, de modo que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}+2x+1}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay oblicua.

Los cortes con los ejes se obtienen anulando cada variable:

$x=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

$f(x)=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow (0,0) \text{ y } (2,0)$

Se deriva aplicando la regla del cociente y se simplifica sacando factor común $(x+1)$:

$f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x+1)^{2}-\left(x^{2}-2x\right)2(x+1)}{(x+1)^{4}}$

$=\dfrac{(2x-2)(x+1)-2\left(x^{2}-2x\right)}{(x+1)^{3}}=\dfrac{2x^{2}-2-2x^{2}+4x}{(x+1)^{3}}$

$f'(x)=\dfrac{4x-2}{(x+1)^{3}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 4x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Se estudia el signo de la derivada en los tramos que determinan el punto crítico y el polo:

$f'(-2)=\dfrac{-10}{-1}=10>0;\quad f'(0)=\dfrac{-2}{1}=-2<0;\quad f'(2)=\dfrac{6}{27}>0$



La función crece en $(-\infty,-1)$, decrece en $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ y vuelve a crecer en $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$. En $x=\frac{1}{2}$ pasa de decrecer a crecer, luego presenta un mínimo relativo:

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}-1}{\frac{9}{4}}=\dfrac{-\frac{3}{4}}{\frac{9}{4}}=-\dfrac{1}{3}$

En $x=-1$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.



El dominio es $\mathbb{R}-\{-1\}$, la asíntota vertical es $x=-1$ y la horizontal $y=1$; la gráfica corta a los ejes en $(0,0)$ y $(2,0)$, y el único extremo relativo es el mínimo $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right)$.