Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x,y)$ que cumplen (1.25 puntos)

$0\leq y, \quad 0\leq x\leq 2,$
$x+y\leq 3, \quad \text{y}$
$x+3y\leq 6.$

Averigua el valor máximo que alcanzan en dicha región las siguientes funciones, y en qué puntos lo alcanza cada una: (1.25 puntos)

$f(x,y)=7x+5y \qquad \text{y} \qquad g(x,y)=x+5y.$

$\textbf{Dibuja la región del plano formada por los puntos } \boldsymbol{(x,y)}\textbf{ que cumplen (1.25 puntos)}$

Cada desigualdad define un semiplano y la región es la intersección de todos ellos. Se dibuja la recta frontera de cada una a partir de dos de sus puntos:

$x+y=3$	$x+3y=6$	$x=2$
$(3,0)$	$(6,0)$	$(2,0)$
$(0,3)$	$(0,2)$	$(2,3)$

El origen cumple todas las desigualdades, así que los semiplanos válidos son los que lo contienen. La región es el pentágono coloreado en azul.



Sus vértices son los cortes de las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0);\qquad \begin{cases} y=0 \\ x=2 \end{cases} \Rightarrow A(2,0)$

$\begin{cases} x=2 \\ x+y=3 \end{cases} \Rightarrow B(2,1);\qquad \begin{cases} x+y=3 \\ x+3y=6 \end{cases} \Rightarrow 2y=3 \Rightarrow C\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)$

$\begin{cases} x+3y=6 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow D(0,2)$

$\textbf{Averigua el valor máximo que alcanzan en dicha región las siguientes funciones, y en qué puntos lo alcanza cada una: (1.25 puntos)}$

Las dos funciones son lineales y la región es acotada, de modo que cada máximo se alcanza en un vértice. Se valoran en los cinco.

Para $f(x,y)=7x+5y$:

$f(O)=0;\quad f(A)=14;\quad f(B)=14+5=19$

$f(C)=\dfrac{21}{2}+\dfrac{15}{2}=18;\quad f(D)=10$

Para $g(x,y)=x+5y$:

$g(O)=0;\quad g(A)=2;\quad g(B)=2+5=7$

$g(C)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{2}=9;\quad g(D)=10$

La función $f$ alcanza su valor máximo, 19, en el vértice $B(2,1)$, y la función $g$ alcanza su valor máximo, 10, en el vértice $D(0,2)$. En $f$ pesa mucho más la primera variable y el óptimo se va al borde derecho; en $g$ manda la segunda y el óptimo sube hasta el vértice más alto.