Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sea A una matriz inversible de orden 2.

i) Halla las matrices X e Y que cumplen que (0.75 puntos)

$\begin{cases} A\,X+Y=I \\ A\,X-Y=0 \end{cases}$

donde I es la matriz identidad $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y 0 es la matriz nula.

ii) En particular, calcula las soluciones X e Y para $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. (1.75 puntos)

$\textbf{i) Halla las matrices X e Y que cumplen que (0.75 puntos)}$

Se trata de un sistema de dos ecuaciones matriciales. Como las incógnitas aparecen sumadas y restadas, se resuelve por reducción igual que un sistema numérico, con la precaución de no cambiar el orden de los productos.

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$:

$2A\,X=I \Rightarrow A\,X=\dfrac{1}{2}I$

Se multiplica por la izquierda por $A^{-1}$, que existe porque el enunciado dice que $A$ es inversible:

$X=\dfrac{1}{2}A^{-1}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece $A\,X$:

$2Y=I \Rightarrow Y=\dfrac{1}{2}I$

Las soluciones son $X=\dfrac{1}{2}A^{-1}$ e $Y=\dfrac{1}{2}I$.

$\textbf{ii) En particular, calcula las soluciones X e Y para } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{. (1.75 puntos)}$

Se calcula primero la inversa de $A$. Su determinante vale

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0-1=-1\neq 0$

de modo que la matriz es inversible. Al ser de orden 2, se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia de signo a los de la secundaria y se divide por el determinante:

$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=A$

La matriz coincide con su inversa, cosa que se comprueba viendo que $A^{2}=I$.

$X=\dfrac{1}{2}A=\begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} \\[2pt] \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix};\qquad Y=\dfrac{1}{2}I=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\[2pt] 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

Se comprueban las dos ecuaciones del sistema:

$A\,X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

$A\,X+Y=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I;\qquad A\,X-Y=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$