Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En el último sorteo de la lotería primitiva Juan acertó 4 números. Su padre le preguntó qué números había acertado. Juan le planteó el siguiente acertijo para que adivinase tres de ellos: la suma de los tres números es 73; si al mayor de los tres números le quitas 3 unidades, obtienes la suma de los otros dos; el doble del menor de los tres números más el mayor de ellos es el triple del otro número más 8 unidades.

a) ¿Cuáles eran esos tres números? (2 puntos)
b) ¿Cuál es el cuarto número, si es la mitad de la suma de los dos mayores de los tres anteriores? (0.5 puntos)

$\textbf{a) ¿Cuáles eran esos tres números? (2 puntos)}$

Se llama $x$ al menor de los tres números, $y$ al intermedio y $z$ al mayor. Cada pista del acertijo es una ecuación.

$x+y+z=73$

$z-3=x+y$

$2x+z=3y+8$

La segunda ecuación da $x+y$, que aparece entero en la primera, así que se sustituye directamente:

$(z-3)+z=73 \Rightarrow 2z=76 \Rightarrow z=38$

$x+y=38-3=35$

Con $z$ conocido, la tercera ecuación queda en dos incógnitas:

$2x+38=3y+8 \Rightarrow 2x-3y=-30$

Se despeja $x=35-y$ y se sustituye:

$2(35-y)-3y=-30 \Rightarrow 70-5y=-30$

$5y=100 \Rightarrow y=20 \Rightarrow x=15$

Se comprueban las tres pistas: $15+20+38=73$; $38-3=35=15+20$; $2\cdot 15+38=68=3\cdot 20+8$.

Los tres números acertados eran el 15, el 20 y el 38.

$\textbf{b) ¿Cuál es el cuarto número, si es la mitad de la suma de los dos mayores de los tres anteriores? (0.5 puntos)}$

Los dos mayores son 20 y 38.

$c=\dfrac{20+38}{2}=\dfrac{58}{2}=29$

El cuarto número acertado era el 29.