Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Una máquina produce bolas de billar, y sabemos que su peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 20 gr.

a) Si el peso medio de las bolas fuese 165 gr, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 100 bolas superase los 168 gr? (1.25 puntos)
b) El promedio en una muestra de 100 bolas es de 165 gr. Determina un intervalo con el 95 % de confianza para la media del peso de las bolas que produce la máquina. (1.25 puntos)

Se llama $X$ al peso, en gramos, de una bola de billar. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 20)$

$\textbf{a) Si el peso medio de las bolas fuese 165 gr, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 100 bolas superase los 168 gr? (1.25 puntos)}$

La variable de estudio es la media de la muestra, que al ser normal la población también lo es, con la misma media y desviación típica dividida por la raíz del tamaño:

$\overline{X}\sim N\left(165,\dfrac{20}{\sqrt{100}}\right)=N(165,\ 2)$

Se tipifica el valor 168 y se pasa a la cola de la derecha:

$P\left(\overline{X}>168\right)=P\left(Z>\dfrac{168-165}{2}\right)=P(Z>1{,}5)$

$P(Z>1{,}5)=1-P(Z\leq 1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$



La probabilidad de que el peso promedio de 100 bolas supere los 168 gramos es $0{,}0668$, es decir, un 6,68 %.

$\textbf{b) El promedio en una muestra de 100 bolas es de 165 gr. Determina un intervalo con el 95 \% de confianza para la media del peso de las bolas que produce la máquina. (1.25 puntos)}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico del 95 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



$E=1{,}96\cdot\dfrac{20}{10}=3{,}92$

$\left(165-3{,}92,\ 165+3{,}92\right)=\left(161{,}08,\ 168{,}92\right)$

El intervalo con el 95 % de confianza para el peso medio de las bolas es $(161{,}08;\ 168{,}92)$ gramos.