Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Una bodega de Rioja elabora vinos blancos, de crianza y reservas de gran calidad. Su producción consiste en un 35 % de vino blanco, un 40 % de vino de crianza y un 25 % de reservas. Aunque tiene mucho cuidado en la selección de los corchos, la probabilidad de que alguna botella se estropee por razón de un corcho inadecuado es del 5 % para el vino blanco, 4 % para el crianza y 2 % para el reserva.

i) Se elige una botella de la bodega al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el vino esté estropeado? (1.75 puntos)
ii) Hemos elegido una botella de vino tinto al azar (crianza o reserva), ¿cuál es la probabilidad de que el vino NO esté estropeado? (0.75 puntos)

Se nombran los sucesos:

$B,\ C,\ R \equiv$ la botella es de vino blanco, de crianza o de reserva,

$E \equiv$ el vino está estropeado.

Del enunciado se leen las proporciones de la producción y las probabilidades condicionadas de que el corcho falle:

$P(B)=0{,}35;\qquad P(C)=0{,}40;\qquad P(R)=0{,}25$

$P(E/B)=0{,}05;\qquad P(E/C)=0{,}04;\qquad P(E/R)=0{,}02$



$\textbf{i) Se elige una botella de la bodega al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el vino esté estropeado? (1.75 puntos)}$

Los tres tipos de vino forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $E$.

$P(E)=P(B)P(E/B)+P(C)P(E/C)+P(R)P(E/R)$

$P(E)=0{,}35\cdot 0{,}05+0{,}40\cdot 0{,}04+0{,}25\cdot 0{,}02$

$P(E)=0{,}0175+0{,}016+0{,}005=0{,}0385$

La probabilidad de que una botella elegida al azar esté estropeada es $0{,}0385$, es decir, un 3,85 %.

$\textbf{ii) Hemos elegido una botella de vino tinto al azar (crianza o reserva), ¿cuál es la probabilidad de que el vino NO esté estropeado? (0.75 puntos)}$

El suceso «vino tinto» es la unión de crianza y reserva, que son incompatibles:

$P(C\cup R)=0{,}40+0{,}25=0{,}65$

La parte de las botellas estropeadas que corresponde al tinto son las dos ramas centrales del árbol:

$P\left(E\cap(C\cup R)\right)=0{,}016+0{,}005=0{,}021$

Se calcula la condicionada y se pasa al suceso contrario:

$P\left(E/(C\cup R)\right)=\dfrac{0{,}021}{0{,}65}=\dfrac{21}{650}$

$P\left(\overline{E}/(C\cup R)\right)=1-\dfrac{21}{650}=\dfrac{629}{650}\approx 0{,}9677$

Sabiendo que la botella es de vino tinto, la probabilidad de que el vino no esté estropeado es $\dfrac{629}{650}\approx 0{,}9677$, casi un 97 %: algo mejor que la media de la bodega, porque el vino blanco es el que peor se comporta.