Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Calcula el área de la región sombreada en la siguiente figura: (2.5 puntos)

$\textbf{Calcula el área de la región sombreada en la siguiente figura: (2.5 puntos)}$

La región está limitada por arriba por la parábola $y=1-x^{2}$ y por abajo por la recta horizontal que pasa por el punto de la parábola de abscisa $x=\frac{1}{2}$, que es la que dibuja la figura. Lo primero es calcular la altura de esa recta.

$y_{0}=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

La recta es, por tanto, $y=\dfrac{3}{4}$. Los extremos del recinto son los puntos en que corta a la parábola:

$1-x^{2}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x^{2}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}$

El recinto va, pues, de $x=-\frac{1}{2}$ a $x=\frac{1}{2}$, y su área es la integral de la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$\mathcal{A}=\int_{-1/2}^{1/2}\left[\left(1-x^{2}\right)-\dfrac{3}{4}\right]dx=\int_{-1/2}^{1/2}\left(\dfrac{1}{4}-x^{2}\right)dx$

El integrando es una función par y el intervalo es simétrico, así que basta integrar de 0 a $\frac{1}{2}$ y multiplicar por dos:

$\mathcal{A}=2\left[\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2}=2\left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{24}\right)$

$=2\cdot\dfrac{3-1}{24}=2\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}$

El área de la región sombreada es de $\dfrac{1}{6}$ unidades de área.