Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Queremos definir una función por trozos, de forma que quede definida en el intervalo $[-2,2]$ según

$f(x)=\begin{cases} 3-2x & \text{si } x\in[-2,a), \\ x+4 & \text{si } x\in[a,b), \\ 5/x & \text{si } x\in[b,2]. \end{cases}$

Calcula los valores de a y b necesarios para que f sea continua (1.25 puntos), y representa la función gráficamente (1.25 puntos).

$\textbf{Calcula los valores de a y b necesarios para que f sea continua (1.25 puntos), y representa la función gráficamente (1.25 puntos).}$

Dentro de cada tramo la función es continua —dos rectas y una hipérbola sin polos en la zona— y los únicos puntos conflictivos son $x=a$ y $x=b$, donde cambia la definición. En cada uno se igualan los límites laterales.

En $x=a$:

$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=3-2a;\qquad \lim_{x\to a^{+}}f(x)=a+4$

$3-2a=a+4 \Rightarrow -3a=1 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{3}$

El valor obtenido pertenece al intervalo $[-2,2]$, como debe ser.

En $x=b$:

$\lim_{x\to b^{-}}f(x)=b+4;\qquad \lim_{x\to b^{+}}f(x)=\dfrac{5}{b}$

$b+4=\dfrac{5}{b} \Rightarrow b^{2}+4b-5=0$

$b=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\dfrac{-4\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} b=1 \\ b=-5 \end{cases}$

Se descarta $b=-5$ porque no pertenece a $[-2,2]$; además debe cumplirse $a<b$, cosa que solo hace $b=1$.

Los valores pedidos son $a=-\dfrac{1}{3}$ y $b=1$.

Para representar la función basta con los extremos de cada tramo, porque los dos primeros son segmentos de recta y el tercero un arco de hipérbola:

$f(-2)=3+4=7;\qquad f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{11}{3}$

$f(1)=1+4=5;\qquad f(2)=\dfrac{5}{2}$



La gráfica baja en línea recta de 7 a $\frac{11}{3}$, sube en línea recta hasta 5 y desciende después por la hipérbola hasta $\frac{5}{2}$, sin ningún salto.