Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Nos preguntamos por las propiedades de una función de la forma

$f(x)=\dfrac{x\,(x+b)}{x^{2}-1}.$

i) ¿Para qué valores de b su gráfica tiene una sola asíntota vertical? (1 punto)
ii) Estudia la existencia de extremos relativos de $f(x)$ si $b=-2$. (1.5 puntos)

$\textbf{i) ¿Para qué valores de b su gráfica tiene una sola asíntota vertical? (1 punto)}$

El denominador se anula en dos puntos, que son los candidatos a asíntota vertical:

$x^{2}-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$

En cada uno hay asíntota vertical solo si el numerador no se anula también; si se anula, el factor se simplifica y la recta deja de ser asíntota. Para que quede una sola asíntota hay que anular el numerador en exactamente uno de los dos puntos.

$x=1:\quad 1\cdot(1+b)=0 \Rightarrow b=-1$

$x=-1:\quad -1\cdot(-1+b)=0 \Rightarrow b=1$

Se comprueba que en cada caso la simplificación es efectiva:

$b=-1 \Rightarrow f(x)=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}$

$b=1 \Rightarrow f(x)=\dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x-1}$

Para $b=-1$ la única asíntota vertical es $x=-1$, y para $b=1$ lo es $x=1$. Ningún valor de $b$ puede anular el numerador en los dos puntos a la vez, porque las dos condiciones son incompatibles.

$\textbf{ii) Estudia la existencia de extremos relativos de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ si } \boldsymbol{b=-2}\textbf{. (1.5 puntos)}$

Con $b=-2$ la función es

$f(x)=\dfrac{x(x-2)}{x^{2}-1}=\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-1}$

y su dominio es $\mathbb{R}-\{-1,1\}$, porque ahora el numerador no se anula en $\pm 1$. Se deriva aplicando la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{(2x-2)\left(x^{2}-1\right)-\left(x^{2}-2x\right)2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$

$=\dfrac{2x^{3}-2x^{2}-2x+2-2x^{3}+4x^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{2x^{2}-2x+2}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$

La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule, y como el denominador nunca es cero en el dominio, basta con anular el numerador:

$2x^{2}-2x+2=0 \Rightarrow x^{2}-x+1=0$

$\Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$

El discriminante es negativo, de modo que la ecuación no tiene ninguna solución real: la derivada no se anula en ningún punto.

Más aún, al no tener raíces reales el numerador conserva el signo, y como el coeficiente principal es positivo, es positivo siempre. El denominador también lo es por ser un cuadrado, así que la derivada es positiva en todo el dominio.



Para $b=-2$ la función no tiene extremos relativos: es estrictamente creciente en cada uno de los tres intervalos en que las asíntotas parten su dominio.