Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el proceso de fabricación de cierta pintura se mezcla una cantidad x de polvo sintético con una cantidad y de polvo de un mineral. Se imponen las restricciones

$x+2y\leq 6$ (para no rebasar un nivel de toxicidad en el proceso),
$5x+4y\leq 20$ (para mantener la gama de color adecuada),
$y\leq x$ (para que la viscosidad no sea excesiva).

a) Dibuja en el plano la región factible de cantidades x e y que cumplen las restricciones. (0.75 puntos)
b) ¿Cuál es la máxima cantidad de polvo de mineral que podemos usar? (0.75 puntos)
c) ¿Cuál es la cantidad máxima posible de polvo $(x+y)$ que permiten las restricciones, y cuánto incluye de cada tipo? (1 punto)

$\textbf{a) Dibuja en el plano la región factible de cantidades x e y que cumplen las restricciones. (0.75 puntos)}$

Además de las tres restricciones del enunciado hay que añadir que las cantidades de polvo no pueden ser negativas:

$\begin{cases} x+2y\leq 6 \\ 5x+4y\leq 20 \\ y\leq x \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

Se dibuja la recta frontera de cada una a partir de dos de sus puntos:

$x+2y=6$	$5x+4y=20$	$y=x$
$(6,0)$	$(4,0)$	$(0,0)$
$(0,3)$	$(0,5)$	$(3,3)$

El origen cumple las dos primeras desigualdades, así que los semiplanos válidos son los que lo contienen; la tercera deja la parte de debajo de la bisectriz. La región factible es el cuadrilátero coloreado en azul.



Sus vértices son los cortes de las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} y=0 \\ 5x+4y=20 \end{cases} \Rightarrow A(4,0);\qquad \begin{cases} y=x \\ x+2y=6 \end{cases} \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow C(2,2)$

$\begin{cases} x+2y=6 \\ 5x+4y=20 \end{cases} \Rightarrow 2x+4y=12 \Rightarrow 3x=8 \Rightarrow x=\dfrac{8}{3} \Rightarrow y=\dfrac{5}{3}$

$B\left(\dfrac{8}{3},\dfrac{5}{3}\right)$

$\textbf{b) ¿Cuál es la máxima cantidad de polvo de mineral que podemos usar? (0.75 puntos)}$

La cantidad de polvo de mineral es la propia $y$, así que hay que maximizar la función objetivo $y$ sobre la región. Al ser lineal, el máximo está en un vértice, y basta con leer la ordenada de cada uno:

$y(O)=0;\quad y(A)=0;\quad y(B)=\dfrac{5}{3};\quad y(C)=2$

La máxima cantidad de polvo de mineral que se puede usar es 2, y se alcanza en el vértice $C(2,2)$, donde la restricción de viscosidad y la de toxicidad se cumplen las dos con igualdad.

$\textbf{c) ¿Cuál es la cantidad máxima posible de polvo } \boldsymbol{(x+y)}\textbf{ que permiten las restricciones, y cuánto incluye de cada tipo? (1 punto)}$

Ahora la función objetivo es la suma de las dos cantidades. Se valora en los cuatro vértices:

$(x+y)(O)=0;\quad (x+y)(A)=4$

$(x+y)(B)=\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{13}{3}\approx 4{,}33;\quad (x+y)(C)=4$

La cantidad máxima de polvo es $\dfrac{13}{3}\approx 4{,}33$, y se alcanza en el vértice $B$: hay que usar $\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67$ de polvo sintético y $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$ de polvo de mineral. Con esa mezcla se agotan a la vez el margen de toxicidad y el de color.