Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Consideramos la ecuación matricial

$X^{2}-X=2I,$

donde I es la matriz identidad.

i) ¿Qué matrices de la forma $X=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ cumplen la ecuación? (2 puntos)
ii) ¿Se puede expresar en general la diferencia $X^{2}-X$ como un producto de matrices? (0.25 puntos)
iii) Si X es una matriz cuadrada de orden n que cumple la ecuación, ¿cuál es su rango? (0.25 puntos)

$\textbf{i) ¿Qué matrices de la forma } \boldsymbol{X=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}\textbf{ cumplen la ecuación? (2 puntos)}$

Se calcula el cuadrado de la matriz y se plantea la ecuación elemento a elemento.

$X^{2}=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^{2} & ab-b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$X^{2}-X=\begin{pmatrix} a^{2}-a & ab-2b \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$X^{2}-X=2I \Rightarrow \begin{cases} a^{2}-a=2 \\ ab-2b=0 \\ 2=2 \end{cases}$

La tercera condición se cumple sola. De la primera:

$a^{2}-a-2=0 \Rightarrow a=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ a=-1 \end{cases}$

La segunda se factoriza como $b(a-2)=0$, y hay que estudiarla para cada valor de $a$.

Si $a=2$ el factor $a-2$ se anula y la condición se cumple sea cual sea $b$.

Si $a=-1$ queda $-3b=0$, de modo que $b=0$.

Hay, por tanto, infinitas soluciones: toda la familia

$X=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad b\in\mathbb{R}$

y además la matriz aislada

$X=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=-I$

Se comprueba esta última: $(-I)^{2}-(-I)=I+I=2I$.

$\textbf{ii) ¿Se puede expresar en general la diferencia } \boldsymbol{X^{2}-X}\textbf{ como un producto de matrices? (0.25 puntos)}$

Sí. Sacando factor común $X$ y recordando que $X\cdot I=X$:

$X^{2}-X=X\cdot X-X\cdot I=X(X-I)$

Como $X$ conmuta consigo misma y con la identidad, también se puede escribir $(X-I)X$.

$\textbf{iii) Si X es una matriz cuadrada de orden n que cumple la ecuación, ¿cuál es su rango? (0.25 puntos)}$

Usando la factorización anterior en la ecuación:

$X(X-I)=2I \Rightarrow X\cdot\dfrac{1}{2}(X-I)=I$

Existe entonces una matriz que multiplicada por $X$ da la identidad, luego $X$ es invertible y su determinante no es nulo.

El rango de $X$ es $n$, el máximo posible.