Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Discute el siguiente sistema en función del parámetro a: (1.25 puntos)

$\begin{cases} x+a\,y=1 \\ 2x-a\,y+2a\,z=5 \\ x+3y-z=0 \end{cases}$

Resuelve el sistema si $a=1$. (1.25 puntos)

$\textbf{Discute el siguiente sistema en función del parámetro a: (1.25 puntos)}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes, que se desarrolla por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & -a & 2a \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}=1(a-6a)-a(-2-2a)+0$

$|A|=-5a+2a+2a^{2}=2a^{2}-3a=a(2a-3)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=\dfrac{3}{2} \end{cases}$

Para todo $a$ distinto de esos dos valores los dos rangos valen 3 y el sistema es compatible determinado.

Para $a=0$ el sistema queda

$\begin{cases} x=1 \\ 2x=5 \\ x+3y-z=0 \end{cases}$

y las dos primeras ecuaciones son contradictorias: la primera da $x=1$ y la segunda $x=\frac{5}{2}$. El sistema es incompatible. Formalmente, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=3\neq 0$ da $\text{rg}(A)=2$, mientras que orlándolo con la columna de términos independientes se obtiene $\text{rg}(A^{*})=3$.

Para $a=\frac{3}{2}$ el menor formado por las dos primeras filas y columnas no es nulo:

$\begin{vmatrix} 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & -\frac{3}{2} \end{vmatrix}=-\dfrac{3}{2}-3=-\dfrac{9}{2}\neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2$

y al orlarlo con la columna de términos independientes el determinante sí se anula:

$\begin{vmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 1 \\ 2 & -\frac{3}{2} & 5 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}=-15+\dfrac{15}{2}+\dfrac{15}{2}=0 \Rightarrow \text{rg}(A^{*})=2$

El sistema es compatible indeterminado.

Resumiendo: si $a\neq 0$ y $a\neq\frac{3}{2}$ el sistema es compatible determinado; si $a=0$ es incompatible; y si $a=\frac{3}{2}$ es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\textbf{Resuelve el sistema si } \boldsymbol{a=1}\textbf{. (1.25 puntos)}$

Para $a=1$ el determinante vale $1\cdot(2-3)=-1\neq 0$, así que hay solución única. El sistema es

$\begin{cases} x+y=1 \\ 2x-y+2z=5 \\ x+3y-z=0 \end{cases}$

De la primera ecuación se despeja $y$ y de la tercera, $z$:

$y=1-x$

$z=x+3y=x+3(1-x)=3-2x$

Se sustituyen las dos en la segunda ecuación:

$2x-(1-x)+2(3-2x)=5$

$2x-1+x+6-4x=5 \Rightarrow -x+5=5 \Rightarrow x=0$

$y=1;\qquad z=3$

Se comprueba en las tres ecuaciones: $0+1=1$; $0-1+6=5$; $0+3-3=0$.

La solución para $a=1$ es $x=0$, $y=1$, $z=3$.