Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En los poblados maruba utilizan el punde como medida de distancia, y toman lo largo de una valla para fijar su valor. Este es distinto en cada poblado. Queremos estimar el valor medio de los distintos pundes en metros, considerando que la distribución es normal con desviación típica de 4 metros y que las medidas en todos los poblados son independientes entre sí. A partir de una muestra de 25 pundes calculamos un intervalo de confianza para situar dicho valor medio, y resulta el intervalo $(74{.}864,\ 77{.}496)$.

i) ¿Cuál es el valor promedio de nuestra muestra? (0.5 puntos)
ii) ¿Con qué nivel de confianza hemos obtenido el intervalo? (1.5 puntos)
iii) ¿Cuántos pundes necesitaríamos medir para reducir el error muestral a la mitad, con el mismo nivel de confianza? (0.5 puntos)

Se llama $X$ al valor del punde, en metros, en un poblado. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 4)$

y la muestra es de $n=25$ pundes.

$\textbf{i) ¿Cuál es el valor promedio de nuestra muestra? (0.5 puntos)}$

El intervalo de confianza está centrado en la media muestral, así que esta es el punto medio de sus dos extremos.

$\overline{x}=\dfrac{74{,}864+77{,}496}{2}=\dfrac{152{,}36}{2}$

$\overline{x}=76{,}18$

El valor promedio de la muestra es de 76,18 metros.

$\textbf{ii) ¿Con qué nivel de confianza hemos obtenido el intervalo? (1.5 puntos)}$

El error máximo admisible es la semiamplitud del intervalo:

$E=\dfrac{77{,}496-74{,}864}{2}=\dfrac{2{,}632}{2}=1{,}316$

De la expresión del error se despeja la abscisa crítica:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 1{,}316=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{4}{5}$

$z_{\alpha/2}=\dfrac{1{,}316\cdot 5}{4}=1{,}645$

Se busca en la tabla el área que acumula ese valor y se deshace la relación con el nivel de confianza:

$P(Z\leq 1{,}645)=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow 1-\alpha=0{,}90$



El intervalo se obtuvo con un nivel de confianza del 90 %.

$\textbf{iii) ¿Cuántos pundes necesitaríamos medir para reducir el error muestral a la mitad, con el mismo nivel de confianza? (0.5 puntos)}$

Con el mismo nivel de confianza el valor crítico no cambia, de modo que el error es inversamente proporcional a la raíz del tamaño de la muestra. Para que el error se divida entre dos, esa raíz tiene que multiplicarse por dos, y el tamaño por cuatro.

$\dfrac{E}{2}=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n'}} \Rightarrow \sqrt{n'}=2\sqrt{n} \Rightarrow n'=4n$

$n'=4\cdot 25=100$

Habría que medir 100 pundes, cuatro veces más que los 25 de partida.