Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Al 40 % de la población española no le gusta el vino. En España, de cada 1000 personas 7 son riojanas, pero entre quienes gustan del vino la proporción de personas riojanas es 1/120.

Escogemos una persona española al azar y resulta que es riojana. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el vino? (2.5 puntos)

$\textbf{Escogemos una persona española al azar y resulta que es riojana. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el vino? (2.5 puntos)}$

Se nombran los sucesos:

$G \equiv$ a la persona le gusta el vino,

$R \equiv$ la persona es riojana.

Del enunciado se leen tres datos. Al 40 % no le gusta el vino, luego al 60 % sí; siete de cada mil españoles son riojanos; y entre quienes gustan del vino la proporción de riojanos es una de cada ciento veinte:

$P(G)=0{,}6 \Rightarrow P(\overline{G})=0{,}4$

$P(R)=\dfrac{7}{1000}=0{,}007;\qquad P(R/G)=\dfrac{1}{120}$



Se pide una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes. El numerador es la probabilidad de la rama que pasa por $G$ y termina en $R$, y el denominador la probabilidad total de ser riojano, que el enunciado da directamente.

$P(G\cap R)=P(G)\cdot P(R/G)=0{,}6\cdot\dfrac{1}{120}=0{,}005$

$P(G/R)=\dfrac{P(G\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}005}{0{,}007}=\dfrac{5}{7}$

Conviene comprobar que los datos son coherentes calculando la otra rama, que debe salir positiva:

$P(\overline{G}\cap R)=P(R)-P(G\cap R)=0{,}007-0{,}005=0{,}002$

$P(R/\overline{G})=\dfrac{0{,}002}{0{,}4}=0{,}005$

Sabiendo que la persona es riojana, la probabilidad de que le guste el vino es $\dfrac{5}{7}\approx 0{,}7143$, esto es, un 71,43 %: bastante más que el 60 % del conjunto de España.