Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Un amigo meteorólogo nos ha facilitado algunas probabilidades de lluvia en la mañana del próximo sábado, concretamente para los siguientes sucesos:

A = «hay lluvia entre las 8 y las 9»;
B = «hay lluvia entre las 8 y las 10»;
C = «hay lluvia entre las 10 y las 14».

Nos ha dicho que $P(A)=0{.}4$, $P(B)=0{.}5$ y $P(C)=0{.}7$. A nosotros nos interesa sobre todo la probabilidad de D = «hay lluvia entre las 9 y las 10». No nos la ha dado, pero nos ha dicho que $P(A\cap D)=0{.}35$.

i) ¿Cómo interpretarías $P(B)-P(A)$? Calcula entonces el valor de $P(D)$. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva de 9 a 10? (1.5 puntos)
ii) Nos dice además que B y C son independientes, porque estará despejado entre las 10 y las 12. Calcula entonces la probabilidad de que llueva durante la mañana (entre las 8 y las 14). (1 punto)

$\textbf{i) ¿Cómo interpretarías } \boldsymbol{P(B)-P(A)}\textbf{? Calcula entonces el valor de } \boldsymbol{P(D)}\textbf{. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva de 9 a 10? (1.5 puntos)}$

Que llueva entre las 8 y las 10 es que llueva entre las 8 y las 9 o entre las 9 y las 10, así que $B$ es la unión de los otros dos sucesos:

$B=A\cup D$

Como $A$ está contenido en $B$, la diferencia de probabilidades es la del suceso «llueve de 8 a 10 pero no de 8 a 9», es decir, la de que la lluvia empiece justamente en la franja de 9 a 10:

$P(B)-P(A)=P(B\setminus A)=P(D)-P(A\cap D)$

Con los datos del enunciado se despeja $P(D)$:

$0{,}5-0{,}4=P(D)-0{,}35$

$P(D)=0{,}1+0{,}35=0{,}45$

Con este valor ya se reparten las cuatro zonas: solo $A$ vale $0{,}05$, la intersección $0{,}35$, solo $D$ vale $0{,}10$ y ninguno de los dos, $0{,}50$.



La probabilidad de que no llueva de 9 a 10 es la del suceso contrario:

$P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}45=0{,}55$

$\textbf{ii) Nos dice además que B y C son independientes, porque estará despejado entre las 10 y las 12. Calcula entonces la probabilidad de que llueva durante la mañana (entre las 8 y las 14). (1 punto)}$

Que llueva en algún momento entre las 8 y las 14 es que llueva entre las 8 y las 10 o entre las 10 y las 14, es decir, la unión de $B$ y $C$.

$P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)$

Al ser los dos sucesos independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades:

$P(B\cap C)=P(B)\cdot P(C)=0{,}5\cdot 0{,}7=0{,}35$

$P(B\cup C)=0{,}5+0{,}7-0{,}35=0{,}85$

La probabilidad de que llueva en algún momento de la mañana es $0{,}85$, es decir, un 85 %.