Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

El diseño del nuevo logo de Climbing Sports se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:

$f(x)=\begin{cases} x & \text{si } 0\leq x<1, \\ 2x+a & \text{si } 1\leq x<2, \\ b\,(x-3)^{2} & \text{si } 2\leq x\leq 3. \end{cases}$



i) Calcula los valores de a y b. (1 punto)
ii) El material de la parte más oscura elevará el coste de producción de las prendas de la marca. ¿Cuánto vale el área de dicha parte? (1.5 puntos)

$\textbf{i) Calcula los valores de a y b. (1 punto)}$

El logo se dibuja de un solo trazo, sin saltos, de modo que la función tiene que ser continua en los dos puntos donde cambia de definición. Se igualan los límites laterales en cada uno.

En $x=1$:

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=1;\qquad \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=2+a$

$2+a=1 \Rightarrow a=-1$

En $x=2$, con el valor de $a$ ya obtenido:

$\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=2\cdot 2-1=3;\qquad \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=b(2-3)^{2}=b$

$b=3$

Los valores pedidos son $a=-1$ y $b=3$. Con ellos el logo alcanza su altura máxima, 3, en $x=2$, y vuelve a tocar el suelo en $x=3$.

$\textbf{ii) El material de la parte más oscura elevará el coste de producción de las prendas de la marca. ¿Cuánto vale el área de dicha parte? (1.5 puntos)}$

La parte sombreada es la que queda bajo el último tramo de la gráfica, la parábola, entre $x=2$ y $x=3$. En ese intervalo la función es positiva —es un cuadrado multiplicado por 3—, de modo que el área coincide con la integral definida.

$\mathcal{A}=\int_{2}^{3}3(x-3)^{2}\,dx=3\left[\dfrac{(x-3)^{3}}{3}\right]_{2}^{3}=\left[(x-3)^{3}\right]_{2}^{3}$

$=0^{3}-(-1)^{3}=0+1=1$

El área de la parte más oscura del logo es de 1 unidad de área.