Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Consideramos la función f dada (en los valores reales x donde la expresión tiene sentido) por

$f(x)=\dfrac{3x-2}{x-1}.$

i) ¿Cuál es el dominio de dicha función? (0.3 puntos)
ii) Calcula la derivada $f'(x)$. ¿En qué puntos x es $f'(x)=-1$? ¿En cuáles es $f'(x)=1$? ¿Tiene f extremos relativos? (1.1 puntos)
iii) Dibuja la gráfica de f, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales. (1.1 puntos)

$\textbf{i) ¿Cuál es el dominio de dicha función? (0.3 puntos)}$

Al ser un cociente, el dominio son todos los reales salvo el que anula el denominador.

$x-1=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \text{Dom } f=\mathbb{R}-\{1\}$

$\textbf{ii) Calcula la derivada } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{. ¿En qué puntos x es } \boldsymbol{f'(x)=-1}\textbf{? ¿En cuáles es } \boldsymbol{f'(x)=1}\textbf{? ¿Tiene f extremos relativos? (1.1 puntos)}$

Se aplica la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{3(x-1)-(3x-2)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{3x-3-3x+2}{(x-1)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^{2}}$

Se resuelve la primera ecuación:

$\dfrac{-1}{(x-1)^{2}}=-1 \Rightarrow (x-1)^{2}=1 \Rightarrow x-1=\pm 1 \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ x=0 \end{cases}$

Para la segunda:

$\dfrac{-1}{(x-1)^{2}}=1 \Rightarrow (x-1)^{2}=-1$

Un cuadrado nunca es negativo, así que esta ecuación no tiene solución real. No hay ningún punto en el que la derivada valga 1.

Lo mismo ocurre con los extremos relativos: el numerador de la derivada es la constante $-1$ y nunca se anula, de modo que no hay puntos críticos. De hecho la derivada es negativa en todo el dominio, y la función es estrictamente decreciente en cada una de sus dos ramas.

La derivada vale $-1$ en $x=0$ y en $x=2$; no vale 1 en ningún punto; y la función no tiene extremos relativos.

$\textbf{iii) Dibuja la gráfica de f, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales. (1.1 puntos)}$

Conviene reescribir la función separando la parte entera, porque así las asíntotas se leen de un vistazo:

$f(x)=\dfrac{3x-3+1}{x-1}=3+\dfrac{1}{x-1}$

En $x=1$ el numerador vale $1\neq 0$ y el denominador se anula:

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=3+\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty;\qquad \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=3+\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

La recta $x=1$ es asíntota vertical. En el infinito el sumando $\frac{1}{x-1}$ se anula:

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=3$

La recta $y=3$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay oblicua.

Los cortes con los ejes:

$x=0 \Rightarrow f(0)=\dfrac{-2}{-1}=2 \Rightarrow (0,2)$

$f(x)=0 \Rightarrow 3x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \left(\dfrac{2}{3},0\right)$



La gráfica es una hipérbola con centro en $(1,3)$: la rama izquierda baja desde $y=3$ hasta $-\infty$ y la derecha desciende desde $+\infty$ hasta $y=3$, cortando a los ejes en $(0,2)$ y $\left(\frac{2}{3},0\right)$.