Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x,y)$ que cumplen (1 punto)

$0\leq y, \quad 0\leq x,$
$x+y\leq 6,$
$2x+y\leq 10, \quad \text{y}$
$x+2y\leq 10.$

Averigua el valor máximo que alcanza en dicha región la función dada por $f(x,y)=4x+3y$. (1 punto)

Si dicho valor máximo se alcanza en un punto $(x_{0},y_{0})$, ¿sabrías expresar una función cuyo máximo lo alcance en $(y_{0},x_{0})$? (0.5 puntos)

$\textbf{Dibuja la región del plano formada por los puntos } \boldsymbol{(x,y)}\textbf{ que cumplen (1 punto)}$

Cada desigualdad define un semiplano y la región es la intersección de los cinco. Se dibuja la recta frontera de cada una a partir de sus cortes con los ejes:

$x+y=6$	$2x+y=10$	$x+2y=10$
$(6,0)$	$(5,0)$	$(10,0)$
$(0,6)$	$(0,10)$	$(0,5)$

El origen cumple las cinco desigualdades, así que los semiplanos válidos son los que lo contienen. La región es el pentágono coloreado en azul.



Sus vértices son los cortes de las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0);\qquad \begin{cases} y=0 \\ 2x+y=10 \end{cases} \Rightarrow A(5,0)$

$\begin{cases} 2x+y=10 \\ x+y=6 \end{cases} \Rightarrow x=4 \Rightarrow B(4,2)$

$\begin{cases} x+y=6 \\ x+2y=10 \end{cases} \Rightarrow y=4 \Rightarrow C(2,4)$

$\begin{cases} x+2y=10 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow D(0,5)$

$\textbf{Averigua el valor máximo que alcanza en dicha región la función dada por } \boldsymbol{f(x,y)=4x+3y}\textbf{. (1 punto)}$

La función es lineal y la región acotada, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cinco:

$f(0,0)=0;\quad f(5,0)=20;\quad f(4,2)=16+6=22$

$f(2,4)=8+12=20;\quad f(0,5)=15$

El valor máximo es $22$ y se alcanza en el punto $B(4,2)$.

$\textbf{Si dicho valor máximo se alcanza en un punto } \boldsymbol{(x_{0},y_{0})}\textbf{, ¿sabrías expresar una función cuyo máximo lo alcance en } \boldsymbol{(y_{0},x_{0})}\textbf{? (0.5 puntos)}$

Basta observar que la región es simétrica respecto de la bisectriz $y=x$: intercambiando $x$ por $y$, las condiciones $x\geq 0$ e $y\geq 0$ se cambian entre sí, la restricción $x+y\leq 6$ queda igual y las otras dos, $2x+y\leq 10$ y $x+2y\leq 10$, se intercambian.

Por tanto, el reflejo de cada punto de la región vuelve a estar en la región, y basta con reflejar también la función objetivo intercambiando los papeles de las dos variables:

$g(x,y)=3x+4y$

Se comprueba valorándola en los cinco vértices:

$g(0,0)=0;\quad g(5,0)=15;\quad g(4,2)=20;\quad g(2,4)=22;\quad g(0,5)=20$

La función $g(x,y)=3x+4y$ alcanza su máximo, también 22, en el punto $C(2,4)$, que es el simétrico de $B(4,2)$.