Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Una matriz cuadrada A se dice idempotente si $A^{2}=A$.

i) Estudia si hay matrices idempotentes $2\times 2$ que sean de la forma $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$ o de la forma $\begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 1 \end{pmatrix}$. En cada caso debes indicar, si la respuesta es afirmativa, el valor de a y b. (2 puntos)
ii) Si una matriz A es idempotente, calcula su potencia $A^{2022}$. (0.5 puntos)

$\textbf{i) Estudia si hay matrices idempotentes } \boldsymbol{2\times 2}\textbf{ que sean de la forma } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}}\textbf{ o de la forma } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. En cada caso debes indicar, si la respuesta es afirmativa, el valor de a y b. (2 puntos)}$

En los dos casos se calcula el cuadrado y se impone que coincida con la matriz de partida, elemento a elemento.

Primera forma:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \Rightarrow A^{2}=\begin{pmatrix} 4+a & 2+b \\ 2a+ab & a+b^{2} \end{pmatrix}$

$A^{2}=A \Rightarrow \begin{cases} 4+a=2 \\ 2+b=1 \\ 2a+ab=a \\ a+b^{2}=b \end{cases}$

De las dos primeras ecuaciones se despejan directamente los parámetros:

$a=-2;\qquad b=-1$

Falta comprobar que también se cumplen las otras dos, que no aportan nada nuevo:

$2(-2)+(-2)(-1)=-4+2=-2=a$

$-2+(-1)^{2}=-2+1=-1=b$

Sí hay matriz idempotente de la primera forma, y es única:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

Segunda forma:

$A=\begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{2}=\begin{pmatrix} 4+ab & 3b \\ 3a & ab+1 \end{pmatrix}$

$A^{2}=A \Rightarrow \begin{cases} 4+ab=2 \\ 3b=b \\ 3a=a \\ ab+1=1 \end{cases}$

La segunda ecuación obliga a $b=0$ y la tercera a $a=0$, con lo que $ab=0$. Pero entonces la primera ecuación pide $4=2$, que es falso.

No hay ninguna matriz idempotente de la segunda forma: el sistema es incompatible.

$\textbf{ii) Si una matriz A es idempotente, calcula su potencia } \boldsymbol{A^{2022}}\textbf{. (0.5 puntos)}$

Se calculan las primeras potencias usando repetidamente la propia definición:

$A^{2}=A$

$A^{3}=A^{2}\cdot A=A\cdot A=A^{2}=A$

$A^{4}=A^{3}\cdot A=A\cdot A=A$

Cada vez que se multiplica por $A$ se vuelve a obtener $A$, de modo que todas las potencias de exponente natural coinciden con la matriz.

$A^{2022}=A$