Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Usamos una balanza de brazos muy sensible para pesar tres tipos de piezas (A, B y C) comparando su peso con el de una barrita que sabemos que pesa 13 gramos. Todas las piezas de un mismo tipo pesan igual. Descubrimos que:

i) La barrita pesa lo mismo que una pieza C y dos piezas B juntas;
ii) tres piezas A pesan lo mismo que dos piezas B;
iii) una pieza C pesa lo mismo que dos piezas A y una pieza B.

¿Cuánto pesan las piezas de cada tipo? (1.75 puntos)

Si la relación (iii) hubiera sido que una pieza B pesa como dos piezas A y una pieza C, al resolver el problema nos daríamos cuenta de que alguna relación debería ser falsa. ¿Por qué? (0.75 puntos)

$\textbf{¿Cuánto pesan las piezas de cada tipo? (1.75 puntos)}$

Se llama $a$, $b$ y $c$ al peso en gramos de una pieza de tipo A, B y C respectivamente. Cada equilibrio de la balanza es una ecuación.

$c+2b=13$

$3a=2b$

$c=2a+b$

Conviene despejarlo todo en función de $a$. De la segunda ecuación:

$b=\dfrac{3a}{2}$

Y llevándolo a la tercera:

$c=2a+\dfrac{3a}{2}=\dfrac{7a}{2}$

Ahora se sustituyen las dos en la primera:

$\dfrac{7a}{2}+2\cdot\dfrac{3a}{2}=13 \Rightarrow \dfrac{7a}{2}+3a=13$

$\dfrac{7a+6a}{2}=13 \Rightarrow 13a=26 \Rightarrow a=2$

$b=\dfrac{3\cdot 2}{2}=3;\qquad c=\dfrac{7\cdot 2}{2}=7$

Se comprueban los tres equilibrios: $7+2\cdot 3=13$; $3\cdot 2=2\cdot 3$; $7=2\cdot 2+3$.

Las piezas de tipo A pesan 2 gramos, las de tipo B 3 gramos y las de tipo C 7 gramos.

$\textbf{Si la relación (iii) hubiera sido que una pieza B pesa como dos piezas A y una pieza C, al resolver el problema nos daríamos cuenta de que alguna relación debería ser falsa. ¿Por qué? (0.75 puntos)}$

Se repite el planteamiento con la tercera ecuación cambiada:

$\begin{cases} c+2b=13 \\ 3a=2b \\ b=2a+c \end{cases}$

De la segunda se sigue teniendo $b=\frac{3a}{2}$, y llevándolo a la nueva tercera se despeja $c$:

$c=b-2a=\dfrac{3a}{2}-2a=-\dfrac{a}{2}$

Aquí ya se ve el problema: al ser $a$ un peso, es positivo, y entonces $c$ resulta negativo. Terminando de resolver:

$-\dfrac{a}{2}+3a=13 \Rightarrow \dfrac{5a}{2}=13 \Rightarrow a=\dfrac{26}{5}=5{,}2$

$b=\dfrac{39}{5}=7{,}8;\qquad c=-\dfrac{13}{5}=-2{,}6$

El sistema tiene solución matemática, pero no física: una pieza no puede pesar $-2{,}6$ gramos. Como el resultado es imposible y el álgebra es correcta, la conclusión es que alguna de las tres relaciones observadas en la balanza tiene que ser falsa.