Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Una variable X es normal de media 25 y desviación típica 5, y otra Y es también normal, pero con media 28 y desviación típica 1.

i) Calcula las probabilidades $P(X>30)$ y $P(Y>30)$. ¿Cuál es mayor? (1 punto)
ii) Tomamos una muestra de $n=4$ valores independientes de X y anotamos su promedio $\overline{X}$. Calcula $P(\overline{X}>30)$. ¿Cuál sería el resultado si $n=9$? (1 punto)
iii) ¿Cómo explicarías la comparación del resultado de (ii) con el de (i), sin recurrir a fórmulas? (0.5 puntos)

$\textbf{i) Calcula las probabilidades } \boldsymbol{P(X>30)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(Y>30)}\textbf{. ¿Cuál es mayor? (1 punto)}$

Se tipifica cada variable con su propia media y desviación típica.

$P(X>30)=P\left(Z>\dfrac{30-25}{5}\right)=P(Z>1)=1-0{,}8413=0{,}1587$



$P(Y>30)=P\left(Z>\dfrac{30-28}{1}\right)=P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228$

Es mayor $P(X>30)$. Aunque la media de $Y$ está más cerca del 30, su desviación típica es cinco veces menor, de modo que sus valores se agrupan mucho más en torno a 28 y superar el 30 le resulta más difícil.

$\textbf{ii) Tomamos una muestra de } \boldsymbol{n=4}\textbf{ valores independientes de X y anotamos su promedio } \boldsymbol{\overline{X}}\textbf{. Calcula } \boldsymbol{P(\overline{X}>30)}\textbf{. ¿Cuál sería el resultado si } \boldsymbol{n=9}\textbf{? (1 punto)}$

La media de una muestra de una población normal es también normal, con la misma media y desviación típica dividida por la raíz del tamaño:

$\overline{X}\sim N\left(25,\dfrac{5}{\sqrt{n}}\right)$

Con $n=4$ la desviación típica es $\frac{5}{2}=2{,}5$:

$P\left(\overline{X}>30\right)=P\left(Z>\dfrac{30-25}{2{,}5}\right)=P(Z>2)=0{,}0228$

Con $n=9$ la desviación típica baja a $\frac{5}{3}$:

$P\left(\overline{X}>30\right)=P\left(Z>\dfrac{30-25}{\frac{5}{3}}\right)=P(Z>3)=1-0{,}9987=0{,}0013$



$\textbf{iii) ¿Cómo explicarías la comparación del resultado de (ii) con el de (i), sin recurrir a fórmulas? (0.5 puntos)}$

Un solo valor de $X$ puede salir alto por casualidad, y por eso superar el 30 tiene una probabilidad apreciable. En cambio el promedio de varios valores compensa los altos con los bajos: para que la media de cuatro observaciones pase de 30 no basta con que una salga grande, tienen que salir grandes casi todas a la vez, cosa mucho menos probable.

Cuantos más valores se promedien, más se parece el promedio a la media verdadera de la población y menos se aleja de ella. Por eso la probabilidad cae de $0{,}1587$ con un valor a $0{,}0228$ con cuatro y a $0{,}0013$ con nueve.