Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En una casa hay tres llaveros: A, B y C, el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho. En cada llavero hay una única llave que abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero, y de él se toma a su vez una llave al azar. Entendemos que, cuando se escoge una cosa al azar entre varias, todas ellas tienen la misma probabilidad de ser la escogida. Se pide:

i) La probabilidad de que la llave elegida abra el trastero. (1.25 puntos)
ii) Si resulta que lo abre, la probabilidad de que sea del llavero A. (1.25 puntos)

Se nombran los sucesos:

$A,\ B,\ C \equiv$ se escoge ese llavero,

$T \equiv$ la llave elegida abre el trastero.

Los tres llaveros son igual de probables, y dentro de cada uno la llave buena es una entre las que tiene:

$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$

$P(T/A)=\dfrac{1}{5};\qquad P(T/B)=\dfrac{1}{7};\qquad P(T/C)=\dfrac{1}{8}$



$\textbf{i) La probabilidad de que la llave elegida abra el trastero. (1.25 puntos)}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $T$.

$P(T)=P(A)P(T/A)+P(B)P(T/B)+P(C)P(T/C)$

$P(T)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\right)$

$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{56+40+35}{280}=\dfrac{131}{840}$

La probabilidad de que la llave elegida abra el trastero es $\dfrac{131}{840}\approx 0{,}1560$, algo más del 15 %.

$\textbf{ii) Si resulta que lo abre, la probabilidad de que sea del llavero A. (1.25 puntos)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes con el denominador ya calculado.

$P(A/T)=\dfrac{P(A)P(T/A)}{P(T)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}}{\dfrac{131}{840}}=\dfrac{\dfrac{1}{15}}{\dfrac{131}{840}}$

$P(A/T)=\dfrac{840}{15\cdot 131}=\dfrac{56}{131}$

Sabiendo que la llave abre el trastero, la probabilidad de que proceda del llavero A es $\dfrac{56}{131}\approx 0{,}4275$: más del doble del tercio inicial, porque A es el llavero con menos llaves y por tanto en el que resulta más fácil acertar.