Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Calcula el área de las dos regiones señaladas en el siguiente dibujo: (2.5 puntos)

$\textbf{Calcula el área de las dos regiones señaladas en el siguiente dibujo: (2.5 puntos)}$

Lo primero es localizar los puntos que delimitan cada recinto. La parábola corta al eje de abscisas donde se anula:

$3x(x+2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-2 \end{cases}$

Y la recta y la parábola se cortan donde toman el mismo valor:

$3x(x+2)=3(x+2) \Rightarrow 3x^{2}+6x=3x+6$

$3x^{2}+3x-6=0 \Rightarrow x^{2}+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-2 \end{cases}$

$x=-2 \Rightarrow y=0;\qquad x=1 \Rightarrow y=3\cdot 3=9$

Las dos curvas se cortan, pues, en $(-2,0)$ y en $(1,9)$.

La región oscura es la que la parábola encierra con el eje de abscisas entre $x=-2$ y $x=0$. Ahí la parábola queda por debajo del eje, así que el integrando es el eje menos la curva:

$\mathcal{A}_{1}=\int_{-2}^{0}\left[0-\left(3x^{2}+6x\right)\right]dx=-\left[x^{3}+3x^{2}\right]_{-2}^{0}$

$=-\left[0-(-8+12)\right]=4$

La región clara está limitada por arriba por la recta en todo su ancho, y por abajo por el eje de abscisas hasta $x=0$ y por la parábola a partir de ahí. Se parte la integral en esos dos tramos:

$\mathcal{A}_{2}=\int_{-2}^{0}3(x+2)\,dx+\int_{0}^{1}\left[3(x+2)-3x(x+2)\right]dx$

$\int_{-2}^{0}(3x+6)\,dx=\left[\dfrac{3x^{2}}{2}+6x\right]_{-2}^{0}=0-(6-12)=6$

$\int_{0}^{1}\left(6-3x-3x^{2}\right)dx=\left[6x-\dfrac{3x^{2}}{2}-x^{3}\right]_{0}^{1}=6-\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{7}{2}$

$\mathcal{A}_{2}=6+\dfrac{7}{2}=\dfrac{19}{2}$

La región oscura mide 4 unidades de área y la clara $\dfrac{19}{2}=9{,}5$ unidades de área. Entre las dos suman $\dfrac{27}{2}$, que es justamente el área total encerrada entre la recta y la parábola de $x=-2$ a $x=1$.